Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Uogólnieniapojęciaróżniczkowalności
Dowód.NiechOj;>0,O+;=1,t1jt2œR.Wówczas
31
Ï(Ot1+;t2)=Îx+(Ot1+;t2)yÎ=ÎO(x+t1y)+;(x+t2y)βOÏ(t1)+;Ï(t2).
Widzimy,że
Ï(t+h)≠Ï(t)
h
=
Îx+(t+h)yÎ≠Îx+tyÎ
h
=
Îx+ty+hyÎ≠Îx+tyÎ
h
j
azatem
Ï
jestjednostronnieróżniczkowalnawzględem
t
dladowolnego
xjy
wtedyitylkowtedy,gdymatęwłasnośćdlat=0.Rozważmyzatemfunkcję
Â(h):=
Îx+hyÎ≠ÎxÎ
h
j
h”=0.
Jesttofunkcjaniemalejącazmiennej
h
nakażdymzezbiorów
R+
i
R1
.Istotnie,
dla0<h1<h2idowolnychxjyzachodzi
Îx+h1yÎ
h1
=
.
.
.
.
h1
x
+y
.
.
.
.
=
.
.
.
.
h1
x
+y+
h2
x
≠
h2
x
.
.
.
.
˛
.
.
.
.
h2
x
+y
.
.
.
.
+ÎxÎ
h1
1
≠ÎxÎ
h2
1
.
Stąd,
Â
(
h1
)
˛Â
(
h2
).Zkolei,jeśli
h1<h2<
0,to,wykorzystującpowyższe
rozumowanie,możemyzapisać
Îx+h1yÎ≠ÎxÎ
h1
=≠
Îx+(≠h1)(≠y)Î≠ÎxÎ
≠h1
˛≠
=
Îx+h2yÎ≠ÎxÎ
Îx+(≠h2)(≠y)Î≠ÎxÎ
h2
≠h2
.
Ponadto
Îx+hyβÎxÎ+|h|ÎyÎorazÎxβÎx+hyÎ+|h|ÎyÎ.
Zatem
|Â(h)|˛ÎyÎ.
Widzimywięc,żeistniejąpochodnejednostronneÏÕ
±(0)ispełniają
|Ï
Õ
±(0)|˛ÎyÎ.
Ponadto,zwypukłości,
ÏÕ
1
(0)
˛ÏÕ
+
(0)
.
Wprzeciwnymbowiemwypadku,z
ÏÕ
1(0)>ÏÕ
+(0)iciągłościÏ,mielibyśmy
Ï(≠t)≠Ï(0)
≠t
>
Ï(t)≠Ï(0)
t
