Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
Rozdział1.Wybranefaktyzanalizyialgebryliniowej
azatemniemożliwejestspełnieniewarunku
.Macierzetegotypusą
nazywaneokresowymi.
Podstawowetwierdzenieteoriimacierzynieujemnych,zwanetwierdzeniem
Perrona-Frobeniusa,możebyćpodsumowanewsposóbnastępujący(porównaj
Twierdzenie1.2.NiechAbędziemacierz!nieujemn!.
(
i
)Istniejerzeczywistanieujemnawartośćwłasna
Amax
=
fl
(
A
)spełniaj!ca
warunek
Amaxˇ|A|
dlawszystkich
Aœ‡
(
A
)orazistniejerzeczywistyinie-
ujemnywektorwłasny,zwanywektoremPerrona,odpowiadaj!cyAmax.
(
ii
)Jeślidodatkowo
A
jestmacierz!nieredukowaln!,to
Amax
jestprost!ido-
datni!wartości!własn!imożnawybraćściśledodatniodpowiadaj!cyjejwektor
własny.
(a)JeśliAjestprymitywna,toAmax>|A|jAœ‡(A).
(
b
)Jeśli
A
jestokresowa,toistniejetakaliczba
d
,żeliczbyzespolone
Aj
=
Amaxe
2fii
d
j
,
j
=1
j...jd≠
1
j
s!wartościamiwłasnymi
A
,spełniaj!cymi
warunekAmax=|Aj|.
układówdynamicznych
generowanychprzeznieujemnąinieredukowalną
Akx¥Ak
maxÈv
Amaxjx>vA
ú
maxj
xœRnj
gdzie
vA
max
i
vú
Amax
sąodpowiednioprawymilewymwektoremPerronama-
cierzy
A
,awprzypadkuokresowymukładjestasymptotycznieukładem
okresowymzokresem
d
,mnożonymprzezpotęgi
Amax
(porównaj
).
Wszczególnościjeśli
Amax
=1
j
tojesttoukładasymptotycznieokresowy.
Przypadekmacierzyredukowalnychjestbardziejzłożony,jednakmożebyć
Jakzauważyliśmywcześniej,wukładachzczasemciągłymrolęmacierzy
generująukładynieujemne.Ichdynamikęopisująfunkcjewykładniczemacierzy,
którychzachowaniedladużychczasówzależyodczęścirzeczywistychich
wartościwłasnychidlategodecydującąrolęodgrywatukresspektralny
,
anie,takjakwprzypadkumacierzynieujemnych,promieńspektralny.
Przypomnijmy,żemacierzMetzleraBmożnazawszezapisaćwpostaci
B=A≠zIj
gdzieAˇ0,azjestdowolnąliczbąwiększąodmax
1˛i˛n
|bii|.
