Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
Rozdział1.Wybranefaktyzanalizyialgebryliniowej
Równośćasymptotyczna.Piszemy
f(x)≥g(x)j
gdyxæaj
jeśliL=1.
1.2.Macierze
Rozważmymacierz
A
=(
aij
)
1˛i˛n,1˛j˛m
.Macierz
A
będzieutożsamiana
zoperatoremliniowymz
Rm
w
Rn
,działającymjakomnożenieprzez
A
,
toznaczyzoperatorem
Rm–x‘æAxœRn
.Ponieważmacierzmożna
potraktowaćjako
nm
-wymiarowywektor,więcjejnormamożebyćzdefiniowana
zapomocąjednegozpodanychwcześniejwzorów.Jednaktakanormaniebędzie
mówiłazbytwieleomacierzy.Patrzącnamacierzjakonapowyższyoperator,
chcielibyśmy,abyjejnormazawierałainformacjęotym,jakdziałanieoperatora
zmieniadługość(normę)wektorów.Powszechnieprzyjętajestwięctzw.norma
operatorowamacierzyzdefiniowanawzorem
ÎAÎ=sup
ÎAxÎ=inf{M:ÎAxβMÎxÎjxœRm}j
ÎxÎl1
(1.7)
aczkolwiekużywasięteżinnychdefinicji,zależnieodpotrzeb.Łatwozauważyć,
ÎAxβÎAÎÎxÎ.
(1.8)
Zatemtakzdefiniowananormamówi,jakiejestmaksymalnewydłużeniewektora
xpowymnożeniuprzezA.
Przykład1.1.
Jeśli
A
działaz
Rn
w
Rn
znormą
ηÎ1
wobuprzestrzeniach,
to
n
n
n
n
n
ÎAxÎ1=
ÿ
il1
-
-
-
jl1
ÿ
aijxj
-
-
-
˛
ÿ
jl1
|xj|
ÿ
il1
|aij|˛ÎxÎ1max
1˛j˛n
ÿ
il1
|aij|.
n
Zatem
max1˛j˛n
q
|aij|
jestjednązliczb
M
w
imożnaudowodnić,że
il1
istotnie
ÎAÎ=max
1˛j˛n
ÿ
il1
n
|aij|.
(1.9)
1.2.1.Funkcjemacierzy
Powyższerozważaniapokazują,żezbiórwszystkichmacierzykwadratowych
tegosamegowymiaruzdowolnąnormąjestprzestrzeniąBanacha(jakoprze-
strzeńskończeniewymiarowa).Dziękitemumożemyrozważaćfunkcje,których
argumentamisąmacierze.
