Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Podstawowepojęciaidefinicje
13
Jeśli
x
=0,tonaogółbędziemyużywaćoznaczeń
B
(0
jT
)=
BrjB
(0
jT
)=
Br
orazS(0jT)=Sr.
ZbiórΩ
µRn
jestotwarty,gdywrazzkażdympunktem
xœ
Ωzawiera
pewnąkulęotwartą
B
(
xjT
).Przez
Ω
,
Int
Ω,
ˆ
Ωoznaczamy,odpowiednio,
domknięcie,wnętrzeibrzegzbioruΩ.Jeśli
x/
œ
Ω,toodległość
x
odΩ
definiujemywzorem
d(xjΩ):=inf
zϽ
Îx≠zÎ.
(1.5)
Oczywiście,takzdefiniowanaodległośćjestzależnaodprzyjętejnormy.Mówimy,
żeciąg(xn)nœNjestzbieżnydoΩ,jeśli
næŒ
lim
d(xnjΩ)=0.
(1.6)
Widzimy,żejeślixnæΩ,gdynæŒjtoistniejeciąg(yn)nœNµΩtaki,że
næŒ
lim
(xn≠yn)=0.
Uwaga1.1.
Wszczególności,jeśliΩjestzbioremzwartym,toistniejepodciąg
ciągu(
yn
)
nœN
zbieżnydoelementu
yœ
Ω,zatemistniejepodciągciągu(
xn
)
nœN
zbieżnydopewnego
yœ
Ω
.
Ogólniej,zkażdegopodciąguciąguzbieżnegodoΩ
możnawybraćpodciągzbieżnydopewnegoelementuΩ.
Zkolei,ponieważ
d(xjΩ)˛Îx≠yÎ
dladowolnegoyœΩjwidzimy,żejeślixnæyœΩ,gdynæŒ,toxnæΩ.
1.1.1.SymboleLandauaOio
Rozważmyfunkcjęskalarną
f
.Niech
xæa
,gdzie
aœRfi{±Œ}
,irozwa-
żanagranicamożebyćjednostronna.Częstochcemyopisaćzachowaniesię
f
wotoczeniupunktu
a
zapomocąprostszejfunkcji
g
,naprzykładjednomianu.
Wtymcelurozważamygranicę
L:=lim
xæa
f(x)
g(x)
iprzyjmijmynastępującedefinicje(niekonieczniezgodnezpowszechnieużywa-
nymi).
Definicja1.1.Małeo.Piszemy
f(x)=o(g(x))j
gdyxæaj
jeśliL=0.
DużeO.Piszemy
f(x)=O(g(x))j
gdyxæaj
jeśli0<L<Œ.
