Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
Wybranefaktyzanalizy
ialgebryliniowej
1.1.Podstawowepojęciaidefinicje
Będziemyużywaćstandardowychoznaczeń
NjZjQjRjC
nazbiory,odpowied-
nio,liczbnaturalnych(bezzera),liczbcałkowitych,liczbwymiernych,liczb
rzeczywistychiliczbzespolonych.Ponadto
No
=
Nfi{
0
}
,
R+
=(0
jŒ
)oraz
R+=[0jŒ).
Książkapoświęconajestgłównieukładomrównańróżniczkowychwprze-
strzenistanów
Rn
.Punktyiwektoryw
Rn
oznaczamyprzez
Rn–x
=
(
x1j...jxn
),przyczymnierozróżniamywektorówwierszowychikolumno-
wych.Abymócmówićopojęciachtakichjakstabilnośćczyzbieżność,musimy
wprowadzićsposóbmierzeniaodległościpomiędzypunktamiw
Rn
.Wprze-
strzeniachliniowych,takichjak
Rn
,odległośćjestnaogółdefiniowanaza
pomocąnormy,czylifunkcjonału
ηÎ
:
RnæR+
spełniającego,dladowolnych
xjyœRnjOœR,następującewarunki:
ÎxÎ=0…x=0j
ÎOxÎ=|O|ÎxÎj
Îx+yβÎxÎ+ÎyÎ.
Wprzestrzeni
Rn
możnawprowadzićwielenorm(definiującychjednaktaką
samątopologię,czylizbieżność).Innymisłowy,wszystkienormyna
Rn
są
równoważne,czylidladowolnychnorm
ηÎ
i
ηÎÕ
istniejątakiestałe
cjcÕ
,że
dlawszystkichxœRnzachodzi
cÎxβÎxÎÕ˛cÕÎxÎj
(1.1)
ÎxÎ2=
ˆ
ı
ı
Ù
ÿ
il1
n
|xi|2j
11
(1.2)
