Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
Rozdział1.Wybranefaktyzanalizyialgebryliniowej
idlategodalszaczęśćrozważańdotyczącychtychmacierzyzostałaumieszczona
1.3.Uogólnieniapojęciaróżniczkowalności
Wanalizierównańróżniczkowychczęstorozważamyfunkcje,naprzykładnormy,
któreniesąróżniczkowalnewsensieklasycznym.Wieleichwłasności,takich
jakmonotoniczność,możnabadać,posługującsięogólniejszymidefinicjami
pochodnej.Tutajwprowadzimyjednąznich.
Definicja1.4.Niech
f
:(
Oj;
)
æR
będziedowolnąfunkcjąjednejzmiennej.
PrawostronnągórnąidolnąpochodnąDiniegofunkcji
f
względem
tœ
(
Oj;
)
definiujemyodpowiedniowzorami
D
+f(t)=limsup
hæo+
f(t+h)≠f(t)
h
j
D+f(t)=liminf
hæo+
f(t+h)≠f(t)
h
.
Podobnie,lewostronnągórnąidolnąpochodnąDiniegodefiniujemyodpowied-
niojako
D
1f(t)=limsup
hæo+
f(t)≠f(t≠h)
h
j
D1f(t)=liminf
hæo+
f(t)≠f(t≠h)
h
.
WażnąwłasnościąpochodnychDiniego,wynikającązregułdziałańna
granicachgórnychidolnych,jestczęściowaaddytywność
D(f+g)=Df+gÕ
(1.38)
zachodząca,jeśli
g
jestfunkcjąróżniczkowalną,gdzie
D
jestdowolnąpochodną
Diniego.Wzórtenpozostajeprawdziwy,jeślirozważamytylkopochodnejed-
nostronnefunkcjig(iodpowiedniepochodneDiniego).
PochodneDiniego,używającegranicgórnychidolnych,niesązbytwygodne
wstosowaniu,cowidzimywograniczeniachstosowalnościwzorunapochodną
sumyfunkcji
,wynikającychzbrakuaddytywnościczyteżmultyplika-
tywnościgranicekstremalnych.Wwieluistotnychprzypadkachistniejągranice
jednostronnerozpatrywanychfunkcji(czyli
D+
=
D+
lub
D1
=
D1
),co
znacznieułatwiaposługiwaniesięnimi.
Zachodzinastępującestwierdzenie.
Stwierdzenie1.2.
Niech
X
będzieprzestrzeni!Banachaznorm!
ηÎ
i
xjyœX
.
Wówczasfunkcja
R–t‘æÏ
(
t
):=
Îx
+
tyÎ
jestwypukłairóżniczkowalnaprawo-
ilewostronniedlakażdegotorazzachodzi
≠ÎyβÏÕ
1(t)˛ÏÕ
+(t)˛ÎyÎ.
(1.39)
