Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
Rozdział1.Wybranefaktyzanalizyialgebryliniowej
dla
tœ
(0
j”
),gdzie
”>
0jestodpowiedniomałąliczbą.Oznaczato,że
2Ï(0)>Ï(≠t)+Ï(t),coprzeczywypukłościÏ.Wkonsekwencji
≠ÎyβÏÕ
1(0)˛ÏÕ
+(0)˛ÎyÎj
Wniosek1.1.
Jeśli
t‘æu
(
t
)jestfunkcj!ci!gł!imaprawo-lublewostronn!
pochodn!w
t
=
to
,to
t‘æÎu
(
t
)
Î
marównieżodpowiednioprawostronn!lub
lewostronn!pochodn!wt=tooraz
≠ÎuÕ
±(to)βÎuÎÕ
±(to)˛ÎuÕ
±(to)Î.
(1.40)
Jeśliujestróżniczkowalnawt=to,to
≠ÎuÕ(to)βÎuÎÕ
1(to)˛ÎuÎÕ
+(to)˛ÎuÕ(to)Î.
Dowód.Zdefinicji
u(to+h)=u(to)+u
Õ
+(to)h+ho(1)j
hæ0+.
(1.41)
Wówczas
Îu(to+h)Î≠Îu(to)Î
h
=
Îu(to)+uÕ
+(to)h+ho(1)Î≠Îu(to)Î
h
=
Îu(to)+uÕ
+(to)hÎ≠Îu(to)Î
h
Îu(to)uÕ
+(to)h+ho(1)Î≠Îu(to)+uÕ
+(to)hÎ
+
h
=I1+I2.
AbyoszacowaćskładnikI2,zauważmy,że
Îu(to)+uÕ
+(to)h+ho(h)βÎu(to)+u
Õ
+(to)hÎ+hÎo(1)Î
oraz
Îu(to)+uÕ
+(to)hÎ=Îu(to)+u
Õ
+(to)h+ho(1)≠ho(1)Î
˛Îu(to)+u
Õ
+(to)h+ho(1)Î+Îho(1)Îj
azatem
-
-
-
-
-
Îu(to)+uÕ
+(to)h+ho(1)Î≠Îu(to)+uÕ
h
+(to)hÎ
-
-
-
-
-
˛Îo(1)Îæ0
gdy
hæ
0
+
.Ponieważskładnik
I1
t‘æÎu
(
t
)
Î
jestprawostronnieróżniczkowalna.Oszacowanie
dlaprawej
wnioskuotrzymujemywanalogicznysposób,wykorzystując
dla
uÕ
1
iuÕ.
