Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
Przykład1.3.Mamy
Rozdział1.Wybranefaktyzanalizyialgebryliniowej
[(0j0)j(1j1)]={(x1jx2)œR
2:0˛x1˛1j0˛x2˛1}j
czyliprzedziałporządkowyjesttutajkwadratem.Ogólnie,w
Rn
przedział
porządkowyjest(hiper)kostką.
1.2.4.MacierzeMetzleraitwierdzeniePerrona-Frobeniusa
Zacznijmyodobserwacji,żealgebraicznadefinicjanieujemnościmacierzyjest
równoważnadynamicznej,toznaczyzachodzinastępującestwierdzenie.
Stwierdzenie1.1.
Dladowolnejmacierzy
A
zachodzi:
Axˇ
0dladowolnego
xˇ0wtedyitylkowtedy,gdyAˇ0.
Dowód.Skoro
(Ax)i=
ÿ
jl1
n
aijxjj
to
aijˇ
0i
xjˇ
0dla
ijj
=1
j...jn
pociągazasobą(
Ax
)
iˇ
0dlakażdego
i=1j...jn.
Zkoleizałóżmy,że
aij<
0dlapewnychwskaźników
ijjj
iniech
ej
=
(0
j...j
0
j
1
j
0
j...j
0)będzie
j
-tymwersoremukładuwspółrzędnychw
Rn
.Wów-
czas
Aej=(a1jj...jaijj...janj)
niejestwektoremnieujemnym,cojestsprzecznezzałożeniem.
Poprzeziteracjezpowyższegostwierdzeniawynika,żedyskretnyukład
dynamicznyk‘æAkgenerowanyprzezukładrównańróżnicowych
x(k+1)=Ax(k)j
kˇ1j
(1.35)
zwarunkiempoczątkowym
x
(0)=
xo
jestnieujemny,toznaczywszystkie
rozwiązaniaznieujemnymiwarunkamipoczątkowymisąnieujemnewtedy
itylkowtedy,gdymacierzAjestnieujemna.
Wnaszejksiążcejesteśmyzainteresowanigłównieukładamidynamicznymi
zczasemciągłymgenerowanymiprzezukładyrównańróżniczkowych
x
Õ=Bxjtˇ0j
zwarunkiempoczątkowym
x
(0)=
xo.
x
(
t
)=
etBxo
isąnieujemnewtedyitylkowtedy,gdymacierz
B
manieujemneelementy
pozagłównąprzekątną.MacierzetakienazywamymacierzamiMetzleralub
