Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
Rozdział1.Wybranefaktyzanalizyialgebryliniowej
toznaczymacierzPi„wybiera”składowąviwektorax.Łatwosprawdzić,że
P
i=Pij
2
PiPj=0j
azatemsątooperatoryrzutowania.Widzimy,że
I=
ÿ
il1
n
Pij
(1.30)
(1.31)
jednak,jakuprzednio,wektor
APix
=
ciAvi
niemusibyćwektoremwłasnym.
Zatem
niedajerozkładunapodprzestrzenieniezmienniczeiniejest
specjalnieużyteczna,oileniewszystkiewektory
vi
sąwektoramiwłasnymi,czyli
jeśli
A
niejestdiagonalizowalna.Późniejomówimytenprzypadekdokładniej,
aterazrozważmysytuacjęogólną.Rozważymyoperatory
PA=
j;vjœE⁄
ÿ
Pj.
Operatorytesąnadalrzutowaniami,którenazywamyrzutowaniamiwidmo-
wymi(spektralnymi).Możemywówczaszapisać(1.31)wpostaci
I=
Aœ‡(A)
ÿ
PAj
zwanejspektralnymrozkłademidentyczności.Mamywówczas
Ax=ÿ
Aœ‡(A)
APAxj
(1.32)
gdzie,zniezmienniczościpodprzestrzeniwidmowych,
APAxœEA
.Zatem,
z(1.30),otrzymujemyPA
iAPA
j=0dlai”=joraz
PAAx=PAAPAx=APAx.
Zatem(1.32)opisujerozkładdziałaniamacierzy
A
narozłącznepodprzestrzenie
widmoweEA,Aœ‡(A),zwanyrozkłademwidmowymA.
Abypowiązać
z
,zauważmy,żejeśli
{v1
A1j...v
n1
A1j...jv1
Akj
...v
nk
Ak}
i
{vú1
A1j...v
ún1
A1j...jvú1
Akj...v
únk
Ak}
sąbiortogonalnymibazamiwektorów
idołączonychwektorówwłasnych,torzutowaniena
v
Aij
j
1
˛i˛kj
1
˛j˛ni
,
wyrażasięwzorem
PA
i,jx=
Èv
Èv
új
Aijv
Aijx>
új
Ai>
j
v
j
Ai=
Èv
Aijv
új
1
j
Ai>
Q
c
c
a
v
v
Ai,nv
Ai,1v
j
j
.
.
Ai,1
új
új
Ai,1
...
...v
.
.
v
j
Ai,nv
j
Ai,1v
.
.
.
új
Ai,n
Ai,n
új
R
d
d
b
Q
c
a
xn
x1
.
.
.
R
d
b
.
.
.
(1.33)