Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
Rozdział1.Wybranefaktyzanalizyialgebryliniowej
matylko
ui<ni
rozwiązańliniowoniezależnych.Rozważamywówczasrównanie
(A≠AiI)
2w=0
lub,równoważnie,równania
(A≠AiI)w=vj
(1.21)
gdzie
v
sąrozwiązaniami
AppendixIII]).Mamyzatemprzynajmniej
ui
+1wektorówliniowoniezależ-
nych(podkreślmy,żetedołączonewektoryniesąwektoramiwłasnymi).Jeśli
liczbaskonstruowanychwtensposóbwektorówjestwciążmniejszaniż
ni
,to
rozważamyrównanie
(A≠AiI)
3z=0
lub,równoważnie,
(A≠AiI)z=wj
gdzie,podobnie,wektory
w
dopóty,dopókinieuzyskamy
ni
wektorówliniowoniezależnych.Zauważmy,że
skorowkażdymkrokuotrzymujemyprzynajmniejjedennowywektorliniowo
niezależnyodskonstruowanychpoprzednio,całyproceswymagaconajwyżej
nikroków.
Otrzymanewtensposóbwektorynazywamydołączonymiwektoramiwła-
snymiodpowiadającymiwartościwłasnej
Ai
.Rozpinająone
ni
wymiarową
podprzestrzeńliniową,zwanądołączonąprzestrzeniąwłasnąlubprzestrzenią
widmową(spektralną)wartościwłasnej
Ai
ioznaczanąprzez
EA
i
.Zkonstrukcji
(porównaj[
EA
i
jestniezmienniczawzględem
A
(czyli
AEA
iµEA
i
),jejwymiarwynosi
ni
oraz
Rn=
n
il1
k
EA
i.
(1.22)
Oznaczato,żeRnmożnaprzedstawićjakosumęprostąniezmienniczychpod-
przestrzeniwidmowychmacierzyA.
Teoriaprzestrzenispektralnychznaczniesięupraszcza,jeślijednocześnie
rozpatrujesięprzestrzeniewidmowemacierzy
A
imacierzydoniejtranspono-
wanejAú,zdefiniowanejwzorem
ÈA
úxújy>=ÈxújAy>jxújyœRnj