Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
33
1.27.Twierdzenie.NiechYbędziepodprzestrzeniąwprzestrzeniliniowoto-
pologicznejX.Załóżmy,żeYjestF-przestrzenią(wtopologiiodziedziczonej
zX).WówczasYjestdomkniętąpodprzestrzeniąX.
Dowód.NiechdbędzieniezmiennicząmetrykąnaYzgodnąztopologią
naY.Niech
B1
n
={g∈Y:d(gj0)<
n}.
1
DalejniechUnbędzieotoczeniemzerawXtakim,żeY∩Un=B1
n
.Wybierz-
mysymetryczneotoczeniazeraVnwXtakie,żeVn+Vn⊂UniVn+1⊂Vn.
Weźmyx∈Y.Zdefiniujmy
En=Y∩(x+Vn)
(n=1j2j3j...).
Jeślig1∈Enig2∈En,tog1−g2należydoY,jakrównieżdoVn+Vn⊂Un,
acozatymidzie,doB1
n
.Oznaczato,żeśrednicezbiorówEndążądozera.
PonieważwszystkiezbioryEnsąniepuste,aYjestzupełna,widzimy,że
Y-domknięciazbiorówEnmajądokładniejedenpunktwspólnygo.
NiechWbędzieotoczeniemzerawX.Oznaczmy
Fn=Y∩(x+W∩Vn).
Takisamargumentjakpowyżejpokazuje,żeY-domknięciazbiorówFnmają
dokładniejedenpunktwspólnygW.AleFn⊂En,awięcgW=go.Ponieważ
Fn⊂x+W,gonależydoX-domknięciazbiorux+WdladowolnegoW.
Zatemgo=xistądx∈Y,codowodzi,żeY=Y.
I
Użytecznebędzietakżenastępującenietrudnetwierdzenie.
1.28.Twierdzenie.
(a)Jeślidjesttranslacyjnieniezmiennicząmetrykąnaprzestrzeniliniowej
X,to
d(nxj0)≤nd(xj0)
dlakażdegox∈Xidlan=1j2j3j....
(b)Jeśli{xn}jestciągiemwmetryzowalnejprzestrzeniliniowotopologicz-
nejXijeślixn→0,gdyn→∞,toistniejąliczbydodatnieγntakie,
żeγn→∞orazγnxn→0.
Dowód.Punkt(a)wynikazewzoru
n
d(nxj0)≤
Σ
d(kxj(k−1)x)=nd(xj0).
k=1
Dladowodu(b)niechdbędziemetrykątakąjakwpunkcie(a),zgodną
ztopologiąnaX.Jakożed(xnj0)→0,istniejerosnącyciągliczbnatural-
nychnktaki,żed(xnj0)<k12,jeślitylkon≥nk.Połóżmyγn=1dla
