Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
41
dokładnietych,dlaktórychci>T.Wszystkietezbiorysąotwarte,jako
żewszystkiepisąciągłe(twierdzenie1.37).Oznaczato,żeBrjestzbiorem
otwartym,anamocytwierdzenia1.34równieżwypukłymizbalansowanym.
DalejniechWbędzieotoczeniemzerawX.ZdefinicjiTwynika,żeW
zawieraprzecięcieodpowiedniodobranychzbiorów
V(pijδi)={x:pi(x)<δi<1}
(1≤i≤k).
(4)
Terazdla2T<min{c1δ1j...jckδk}ix∈Brmamy
1+pi(x)
cipi(x)
<T<
ciδi
2
(1≤i≤k)j
(5)
astądpi(x)<δi,czyliBr⊂W.
Todowodzinaszejtezyipokazuje,żedjestzgodnazT.
1.39.Twierdzenie.PrzestrzeńliniowotopologicznaXjestnormowalnawte-
dyitylkowtedy,gdyposiadawypukłeiograniczoneotoczeniezera.
Dowód.JeśliXjestnormowalnai"."jestnormązgodnąztopologiąX,
tootwartakulajednostkowa{x:"x"<1}jestwypukłaiograniczona.
Zdrugiejstronyzałóżmy,żeVjestwypukłymiograniczonymotocze-
niemzerawX.Ztwierdzenia1.14wiemy,żeVzawierawypukłeizbalan-
sowaneotoczeniezeraU,któreoczywiścieteżjestograniczone.Niech
"x"=P(x)
(x∈X)j
(1)
gdziePjestfunkcjonałemMinkowskiegoU.
Namocypunktu(c)twierdzenia1.15zbioryTU(T>0)tworząbazę
otoczeńdlatopologiiX.Jeślix/=0,tox/∈TUdlapewnegoT>0.Stąd
"x"≥T.Terazztwierdzenia1.35wynika,że(1)zadajenormę.Zdefi-
nicjifunkcjonałuMinkowskiegoiztego,żeUjestotwarty,wnioskujemy
natomiast,że
{x:"x"<T}=TU
(2)
dlawszystkichT>0.Zatemtopologiazadanaprzeznormęjestidentyczna
zwyjściowątopologiąnaX.
I
Przestrzenieilorazowe
1.40.Definicje.NiechNbędziepodprzestrzeniąwprzestrzeniliniowejX.
Dlax∈Xniechπ(x)będziewarstwąNprzechodzącąprzezx:
π(x)=x+N.
TewarstwysąelementamiprzestrzeniliniowejX/N,którąnazywamyprze-
strzeniąilorazowąXmoduloN.Dodawanieimnożenieprzezskalarywprze-
