Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
27
każdyznastępującychczterechwarunkówimplikujetrzypozostałe:
(a)Ajestciągły.
(b)JądroAjestdomknięte.
(c)N(A)niejestgęstewX.
(d)AjestograniczonynapewnymotoczeniuzeraVwX.
Dowód.PonieważN(A)=A11({0})i{0}jestdomkniętympodzbiorem
ciałaskalarówo,widzimy,że(a)implikuje(b).ZzałożeniaN(A)/=X,
więc(b)implikuje(c).
Załóżmy,żezachodzi(c),tj.dopełnienieN(A)maniepustewnętrze.
Ztwierdzenia1.14mamy
(x+V)∩N(A)=∅
(1)
dlapewnegox∈XipewnegozbalansowanegootoczeniazeraV.Wtakim
razieAVjestzbalansowanympodzbioremciałao.Oznaczato,żealboAV
jestograniczony,alboAV=o.Wdrugimprzypadkuistniejeg∈Vtakie,
żeAg=−Ax,czyli(x+g)∈N(A),costoiwsprzecznościz(1).Zatem(c)
implikuje(d).
Wreszcie,jeślizachodzi(d),to|Ax|<Mdlawszystkichx∈Vipewnej
stałejM<∞.WeźmyT>0iniechW=(r
M)V.Wówczas|Ax|<Tdla
każdegox∈W.Oznaczato,żeoperatorAjestciągływzerze,conamocy
twierdzenia1.17implikuje(a).
I
Przestrzenieskończeniewymiarowe
1.19.JednymiznajprostszychprzestrzeniBanachasąprzestrzenieRniCn
—standardowen-wymiaroweprzestrzenielinioweodpowiednionadRiC
znormązadanąprzezmetrykęeuklidesową.Przykładowodlawektora
z=(z1j...jzn)
wCnmamy
(zi∈C)
"z"=(|z1|
2+···+|zn|2)
1
2.
OczywiściemożnadefiniowaćinnenormynaCn.Naprzykład:
"z"=|z1|+···+|zn|lub"z"=max(|zi|:1≤i≤n).
TenormyodpowiadająinnymmetrykomnaCn(przyn>1),aleodrazu
widać,żewszystkiezadajątęsamątopologięnaCn.Prawdziwejestnawet
mocniejszestwierdzenie:JeśliXjestprzestrzeniąliniowotopologicznąnad
CidimX=n,tokażdywybórbazywXzadajeizomorfizmXnaCn.
Wtwierdzeniu1.21udowodnimy,żeówizomorfizmmusibyćhomeomor-
fizmem.Innymisłowy,topologianaCnjestjedynątopologiąliniowąna
n-wymiarowej,zespolonejprzestrzeniliniowotopologicznej.
