Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
36
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
(a)Ajestciągłe.
(b)Ajestograniczone.
(c)Jeślixn→0,to{Axn:n=1j2j3j...}jestograniczony.
(d)Jeślixn→0,toAxn→0.
Zadanie13zawieraprzykładsytuacji,wktórej(b)zachodzi,natomiast
(a)niejestprawdziwe.
Dowód.Załóżmywarunek(a).NiechEbędziezbioremograniczonymwX
iniechWbędzieotoczeniemzerawY.JakożeAjestciągłe(orazA0=0),
istniejeotoczeniezeraVwXtakie,żeA(V)⊂W.TerazskoroEjest
ograniczony,mamyE⊂tVdladostateczniedużychtistąd
A(E)⊂A(tV)=tA(V)⊂tW.
Oznaczato,żeA(E)jestograniczonywY.
Tymsamymotrzymaliśmyimplikację(a)⇒(b).Ponieważciągizbieżne
sąograniczone,mamytakże(b)⇒(c).
Załóżmyteraz,żeXjestprzestrzeniąmetryzowalnąiżeAspełniawaru-
nek(c).Niechxn→0.Ztwierdzenia1.28wiemy,żeistniejąliczbydodatnie
γn→∞takie,żeγnxn→0.Terazskoro{A(γnxn):n=1j2j3j...}jest
zbioremograniczonymwY,twierdzenie1.30mówi,że
Axn=γ
nA(γnxn)→0j
11
gdyn→∞.
Wreszciezałóżmy,żewarunek(a)niejestspełniony.Wówczasistnieje
otoczeniezeraWwYtakie,żeA11(W)niezawierażadnegootoczeniazera
wX.PrzestrzeńXmaprzeliczalnąbazęotoczeń,awięcistniejeciąg{xn}
elementówXtaki,żexn→0,aleAxn/∈W.Innymisłowy,warunek(d)nie
jestspełniony.
I
Półnormyilokalnawypukłość
1.33.Definicje.PółnormąnaprzestrzeniliniowejXnazywamyfunkcjęp
naXowartościachrzeczywistychtaką,że
(a)p(x+g)≤p(x)+p(g),
(b)p(Ox)=|O|p(x)
dlawszystkichxjg∈XiwszystkichskalarówO.
Własność(a)nazywamypodaddytywnością.Wtwierdzeniu1.34zoba-
czymy,żepółnormapjestnormąwtedyitylkowtedy,gdyspełniaona
(c)p(x)/=0,jeślix/=0.
RodzinęPpółnormnaXnazywamyrozdzielającą,jeślidlakażdego
x/=0istniejeconajmniejjednapółnormap∈Ptaka,żep(x)/=0.
RozważmywypukłyzbiórA⊂X,któryjestpochłaniający,czylikażdy
x∈XnależydotAdlapewnegot=t(x)>0(przykładowozpunktu(a)
