Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
25
(b)Każdalokalniewypukłaprzestrzeńliniowotopologicznamawypukłąbazę
otoczeń.
Zauważmy,żetwierdzenie1.11jestprawdziwetakżedlatychbazoto-
czeń.
1.15.Twierdzenie.NiechVbędzieotoczeniemzerawprzestrzeniliniowo
topologicznejX.
(a)Jeśli0<T1<T2<···orazTn→∞przyn→∞,to
X=
n=1
U
∞
TnV.
(b)KażdyzwartypodzbiórKprzestrzeniXjestograniczony.
(c)Jeśliδ1>δ2>···iδn→0przyn→∞orazjeśliotoczenieVjest
ograniczone,torodzina
{δnV:n=1j2j3j...}
jestbaząotoczeńwX.
Dowód.(a)Weźmydowolnywektorx∈X.PonieważOl→Oxjestciągłym
odwzorowaniemzciałaskalarówdoX,zbiórtychO,dlaktórychOx∈V,
jestotwartyizawiera0.Stądzbiórtenzawiera1
rndladostateczniedużych
n,czyli1
rnx∈V,lubinaczejx∈TnVdladostateczniedużychn.
(b)NiechWbędziezbalansowanymotoczeniemzeratakim,żeW⊂V.
Zpunktu(a)wnioskujemy,że
K⊂
n=1
U
∞
nW.
JakożeKjestzwarty,istniejąliczbynaturalnen1<n2<···<nstakie,
że
K⊂n1W∪n2W∪···∪nsW=nsWj
przyczymostatniarównośćwynikaztego,żeWjestzbalansowany.Teraz
jeślit>ns,toK⊂tW⊂tV.
(c)NiechUbędzieotoczeniemzerawX.JeśliVjestzbioremograni-
czonym,toistniejes>0takie,żeV⊂tUdlawszystkicht>s.Dlantak
dużego,żesδn<1mamyV⊂1
δnU,czyliUzawierawszystkie,zwyjątkiem
skończonejilości,zbioryδnV.
I
Odwzorowanialiniowe
1.16.Definicje.DladowolnychzbiorówXiYsymbol
f:X−→Y
