Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
23
Dotychczasnieużyliśmyzałożenia,żekażdypunktXjestzbioremdo-
mkniętym.Korzystajączniego,możemywtwierdzeniu1.10przyjąćzaC
iKdwaróżnepunktywX.Widzimyzatem,żedowolnedwaróżnepunkty
wXmająrozłączneotoczenia.Innymisłowy,wXprawdziwyjestaksjomat
oddzielaniaHausdorffa:
1.12.Twierdzenie.Każdaprzestrzeńliniowotopologicznajestprzestrzenią
Hausdorffa.
Poniżejprzedstawimypewnewłasnościdomknięćiwnętrzwprzestrzeni
liniowotopologicznej.Wparagrafie1.5zdefiniowaliśmyEiEo.Zauważ-
my,żepunktpnależydoEwtedyitylkowtedy,gdykażdeotoczeniep
przecinaE.
1.13.Twierdzenie.NiechXbędzieprzestrzeniąliniowotopologiczną.
(a)JeśliA⊂X,toA=Π(A+V),gdzieVprzebiegawszystkieotoczenia
zera.
(b)JeśliA⊂XiB⊂X,toA+B⊂A+B.
(c)JeśliYjestpodprzestrzeniąwX,toYteżjestpodprzestrzeniąwX.
(d)JeśliCjestwypukłympodzbioremX,toCiCoteżsąwypukłe.
(e)JeśliBjestzbalansowanympodzbioremX,toBrównież,jeśliponadto
0∈Bo,toBotakżejestzbalansowanympodzbioremX.
(f)JeśliEjestograniczonympodzbioremX,toErównieżjestograniczony.
Dowód.(a)Punktx∈Awtedyitylkowtedy,gdy(x+V)∩A/=∅
dlakażdegootoczeniazeraV,atomamiejscewtedyitylkowtedy,gdy
x∈A−VdladowolnegotakiegoV.Zauważmy,że−Vjestotoczeniemzera
wtedyitylkowtedy,gdyVjestotoczeniemzera,cokończydowód.
(b)Niecha∈A,b∈BiniechWbędzieotoczeniema+b.Istnieją
otoczeniaW1iW2punktówaibtakie,żeW1+W2⊂W.Jakożea∈A
ib∈B,istniejąx∈A∩W1orazg∈B∩W2.Wówczasx+gnależydo
(A+B)∩W,copokazuje,żetenostatnizbiórjestniepusty.Stąda+b∈
A+B.
(c)NiechOiβbędąskalarami.Namocystwierdzeniazparagrafu1.7
mamyOY=OYdlaO/=0,przyczymjeśliO=0,totedwazbiory
oczywiścieteżsąrówne.Stądkorzystajączpunktu(b)mamy
OY+βY=OY+βY⊂OY+βY⊂Yj
gdziedoostatniejinkluzjipotrzebujemyzałożenia,żeYjestpodprzestrze-
nią.
Dowody,żedomknięciazbiorówwypukłychsąwypukłeiżedomknięcia
zbiorówzbalansowanychsązbalansowane,sąbardzopodobnedopowyższe-
godowodu(c),takwięcjepominiemy,dowodzącpunktów(d)i(e).
