Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
Przestrzenieliniowotopologiczne
Wstęp
1.1.Wieleproblemówanalizydotyczynietylepojedynczegoobiektutakiego
jakfunkcja,miaraczyoperator,aledużejklasytakichobiektów.Okazujesię,
żewiększośćtakichklastoprzestrzenieliniowenadciałemliczbrzeczywi-
stychlubzespolonych.Jakożeoperacjaprzechodzeniadogranicyodgrywa
(explicitebądźimplicite)istotnąrolęwkażdymproblemieanalitycznym,
niepowinienzaskakiwaćfakt,żeoweprzestrzenieliniowewyposażonesą
wmetrykilubprzynajmniejtopologiemającenaturalnyzwiązekzobiekta-
mi,zktórychteprzestrzeniesięskładają.Najprostszyminajważniejszym
sposobemwprowadzeniatakiejstrukturyjestwprowadzenienormy.Uzy-
skanywwynikutejoperacjiobiektnazywamyunormowanąprzestrzenią
liniową,unormowanąprzestrzeniąwektorowąlub,poprostu,przestrzenią
unormowaną.
Wcałejksiążceterminprzestrzeńliniowaodnosićsiębędziedoprze-
strzeniliniowejnadciałemliczbzespolonychClubciałemliczbrzeczywi-
stychR.Szczegółowedefinicjepodanesąwparagrafie1.4.
1.2.Przestrzenieunormowane.PrzestrzeńliniowąXnazywamyprzestrzeią
unormowaną,jeślikażdemux∈Xprzyporządkowanajestnieujemnaliczba
rzeczywista"x",nazywananormąx,wtakisposób,że
(a)"x+g"≤"x"+"g"dlawszystkichxjg∈X,
(b)"Ox"=|O|"x",jeślix∈XiOjestskalarem,
(c)"x">0,jeślix/=0.
Słowo„norma”oznaczarównieżfunkcjęprzyporządkowującąelementowi
xliczbę"x".Każdaprzestrzeńunormowanajestprzestrzeniąmetryczną
zmetrykąd(xjg)="x−g".Mamywówczas
(i)0≤d(xjg)<∞dlawszystkichxjg∈X,
(ii)d(xjg)=0wtedyitylkowtedy,gdyx=g,
