Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
21
(e)XjestF-przestrzenią,jeśliTjestzadanaprzezzupełną,niezmienniczą
metrykę(por.paragraf1.25).
(f)XjestprzestrzeniąFrécheta,jeśliXjestlokalniewypukłąF-przestrze-
nią.
(g)Xjestnormowalna,jeślinaXistniejenormataka,żemetrykazadana
przeztęnormęjestzgodnazT.
(h)PrzestrzenieunormowaneiprzestrzenieBanachazostałyjużwcześniej
zdefiniowane(paragraf1.2).
(i)XmawłasnośćHeinego–Borela,jeślikażdydomkniętyiograniczony
podzbiórXjestzwarty.
Terminologiawprowadzonawpunktach(e)i(f)niejestpowszechnie
stosowana—wniektórychpublikacjachpomijasięlokalnąwypukłośćwde-
finicjiprzestrzeniFrécheta,podczasgdywinnychmianemF-przestrzeni
określasięto,comynazwaliśmyprzestrzeniąFrécheta.
1.9.Otolistaniektórychzwiązkówpomiędzyopisanymiwyżejwłasnościami
przestrzeniliniowotopologicznejX.
(a)JeśliXjestlokalnieograniczona,toXmaprzeliczalnąbazęotoczeń
(część(c)twierdzenia1.15).
(b)Xjestmetryzowalnawtedyitylkowtedy,gdymaprzeliczalnąbazę
otoczeń(twierdzenie1.24).
(c)Xjestnormowalnawtedyitylkowtedy,gdyXjestlokalniewypukła
ilokalnieograniczona(twierdzenie1.39).
(d)Xmaskończonywymiarwtedyitylkowtedy,gdyXjestlokalniezwarta
(twierdzenia1.21i1.22).
(e)JeślilokalnieograniczonaprzestrzeńXmawłasnośćHeinego–Borela,
toXjestskończeniewymiarowa(twierdzenie1.23).
PrzestrzenieH(Ω)iC∞
K,wspomnianewparagrafie1.3,sąnieskończenie
wymiarowymiprzestrzeniamiFréchetamającymiwłasnośćHeinego–Borela
(por.1.45i1.46).Wynikastąd,żeniesąonelokalnieograniczone,awięc
niesąrównieżnormowalne.Sąoneponadtoprzykładempokazującym,że
stwierdzenieodwrotnedo(a)niejestprawdziwe.
Zdrugiejstrony,istniejąlokalnieograniczoneF-przestrzenie,którenie
sąlokalniewypukłe(por.1.47).
Własnościoddzielania
1.10.Twierdzenie.NiechKiCbędąpodzbioramiprzestrzeniliniowotopo-
logicznejXtakimi,żeKjestzwarty,CdomkniętyiK∩C=∅.Wówczas
istniejeotoczeniezeraVwXtakie,że
(K+V)∩(C+V)=∅.
