Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
przestrzenio×XwXjestciągłe,tj.jeślix∈X,O∈oijeśliVjest
otoczeniemOx,todlapewnegoT>0idlapewnegootoczeniaWwektora
xmamyβW⊂V,gdytylko|β−O|<T.
PodzbiórEprzestrzeniliniowotopologicznejXnazywamyograniczo-
nym,jeślidladowolnegootoczeniazeraVistniejeliczbas>0taka,że
E⊂tVdlawszystkicht>s.
1.7.Niezmienniczość.NiechXbędzieprzestrzeniąliniowotopologiczną.
Każdemuwektorowia∈XikażdemuskalarowiA/=0przyporządkujmy
operatortranslacjiTaioperatormnożeniaMAzadanewzorami
Ta(x)=x+aj
MA(x)=Ax
(x∈X).
Następująceprostestwierdzeniejestniezwykleważne:
Stwierdzenie.TaiMAsąhomeomorfizmamiXnasiebie.
Dowód.Aksjomatyprzestrzeniliniowejimplikują,żeTaiMAsąbijekcjami
orazżeT1aiM1
λ
sąodwzorowaniamiodwrotnymidoTaiMA.Dalejcią-
głośćoperacjiprzestrzeniliniowejimplikuje,żewszystkieczterypowyższe
odwzorowaniasąciągłe.Stądkażdeznichjesthomeomorfizmem.
I
Jednązkonsekwencjitegostwierdzeniajestfakt,żekażdatopologia
liniowajestniezmienniczazewzględunatranslacje(przesunięcia)lubkrótko
translacyjnieniezmiennicza:zbiórE⊂Xjestotwartywtedyitylkowtedy,
gdykażdajegotranslacjaa+Ejestotwarta.ZatemTjestzadanaprzez
bazęotoczeńdowolnegopunktu.
Wkontekścieprzestrzeniliniowychbazaotoczeńbędziezawszeoznaczać
bazęotoczeńzera.Tymsamymbazaotoczeńwprzestrzeniliniowotopo-
logicznejXjesttorodzinaBotoczeńzerataka,żekażdeotoczeniezera
zawieraelementB.WówczaszbioryotwartewXsątodokładnietezbiory,
któresąsumamitranslacjielementówB.
MetrykędnaXnazwiemyniezmienniczą,jeśli
d(x+zjg+z)=d(xjg)
dlawszystkichxjgjz∈X.
1.8.Typyprzestrzeniliniowotopologicznych.Wnastępującychponiżej
definicjachXbędzieoznaczaćprzestrzeńliniowotopologicznąztopologiąT.
(a)Xjestlokalniewypukła,jeśliistniejebazaotoczeńBwX,którejele-
mentysązbioramiwypukłymi.
(b)Xjestlokalnieograniczona,jeśli0maograniczoneotoczenie.
(c)Xjestlokalniezwarta,jeśli0maotoczenie,któregodomknięciejest
zwarte.
(d)Xjestmetryzowalna,jeśliTjestzgodnazpewnąmetrykądnaX.
