Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
43
aN+V∈T.Oznaczato,żeπ(V)∈TNistądπjestodwzorowaniem
otwartym.
TerazjeśliWjestotoczeniemzerawX/N,istniejeotoczeniezeraV
wXtakie,że
V+V⊂π11(W).
Zatemπ(V)+π(V)⊂W.Ponieważπjestotwarte,π(V)jestotoczeniemze-
rawX/N.Tymsamymwykazaliśmy,żedodawaniewektorówjestoperacją
ciągłą.
Podobniewykazujemy,żemnożenieprzezskalaryjestciągłe,cokończy
dowód(a).
Jestjasne,że(a)implikuje(b).Dalej,używająctwierdzeń1.32,1.24
i1.39widzimy,że(b)implikuje(c).
NiechdbędzieniezmiennicząmetrykąnaXzgodnąztopologiąT.Zde-
finiujmy
ρ(π(x)jπ(g))=inf{d(x−gjz):z∈N}.
Możnatęfunkcjęinterpretowaćjakoodległośćx−godN.Pominiemy
sprawdzenie,żeρjestdobrzezdefiniowane,iżeρjestniezmiennicząmetryką
naX/N.Ponieważ
π({x:d(xj0)<T})={u:ρ(uj0)<T}j
punkt(b)pokazuje,żeρjestzgodnazTN.
JeśliXjestprzestrzeniąunormowaną,topowyższadefinicjaopisujetak
zwanąnormęilorazowąnaX/N:
"π(x)"=inf{"x−z":z∈N}.
Abyudowodnić(d),musimywykazać,żejeślidjestmetrykązupełną,toρ
takżejestzupełna.
Niech{un}będzieciągiemCauchy’egowX/Nwzględemmetrykiρ.
Istniejepodciąg{un
i}taki,żeρ(un
ijun
i+1)<21i.Możemyzateminduk-
cyjniewybraćxi∈Xtakie,żeπ(xi)=un
iorazd(xijxi+1)<21i.Jeślid
jestzupełna,tociągCauchy’ego{xi}zbiegadopewnegox∈Xiciągłość
πpokazuje,żeun
i
→π(x),gdyi→∞.Wiadomojednak,żejeśliciąg
Cauchy’egomazbieżnypodciąg,tocałytenciągmusibyćzbieżny.Stąd
metrykaρjestzupełna.
I
Otoprostezastosowaniewprowadzonychpowyżejpojęć:
1.42.Twierdzenie.NiechNiFbędąpodprzestrzeniamiprzestrzeniliniowo
topologicznejX.Załóżmy,żeNjestdomknięta,aFskończeniewymiarowa.
WówczasN+Fjestdomknięta.
Dowód.NiechπbędzieodwzorowaniemilorazowymXnaX/Nwypo-
sażonąwtopologięilorazową.Wówczasπ(F)jestskończeniewymiarową
