Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
39
NiechBbędzierodzinąwszystkichskończonychprzecięćzbiorówV(pjn).
WówczasBjestwypukłą,zbalansowanąbaząotoczeńdlatopologiiTnaX,
zktórąXjestlokalniewypukłąprzestrzeniąliniowotopologicznąoraz
(a)każdapółnormap∈Pjestciągła,
(b)zbiórE⊂Xjestograniczonywtedyitylkowtedy,gdykażdapółnorma
p∈PjestograniczonanaE.
Dowód.WprowadzimytopologięnaXdeklarując,żezbiórA⊂Xjest
otwartywtedyitylkowtedy,gdyjeston(byćmożepustą)sumątranslacji
elementówzB.WtensposóbotrzymujemynaXtranslacyjnieniezmienni-
czątopologięT:każdyelementBjestwypukłyizbalansowany,Bzaśjest
baząotoczeńdlaT.
Weźmyx∈X,x/=0.Wówczasp(x)>0dlapewnegop∈P.Jakożex
nienależydoV(pjn),gdynp(x)>1,widzimy,że0nienależydootoczenia
x−V(pjn)punktux,czylixnieleżywdomknięciu{0}.Oznaczato,że
{0}jestzbioremdomkniętym,anamocyniezmienniczościTzewzględuna
translacjekażdypunktXjestzbioremdomkniętym.
Wykażemyteraz,żeoperacjedodawaniaimnożeniaprzezskalarysą
ciągłe.NiechUbędzieotoczeniemzerawX.Wtedy
U⊃V(p1jn1)∩···∩V(pmjnm)
(1)
dlapewnychp1j...jpm∈Pidlapewnychliczbnaturalnychn1j...jnm.
Niech
V=V(p1j2n1)∩···∩V(pmj2nm).
(2)
Wszystkiep∈Psąpodaddytywne,awięcmamyV+V⊂U,codowodzi,
żedodawaniejestciągłe.
Terazniechx∈X,Obędzieskalarem,aUiVbędątakiejakwyżej.
Wiemy,żex∈sVdlapewnegos>0.Niecht=
1+|o|s.Jeśliweźmiemy
s
g∈x+tViβtakie,że|β−O|<1
s,to
βg−Ox=β(g−x)+(β−O)xj
atenwektornależydo
|β|tV+|β−O|sV⊂V+V⊂Uj
jakoże|β|t≤1iVjestzbalansowane.Tymsamymwykazaliśmy,żemno-
żenieprzezskalaryjestciągłe.
Wiemyjuż,żeXjestprzestrzeniąlokalniewypukłą.ZdefinicjiV(pjn)
wynika,żekażdapółnormap∈Pjestciągław0,cowświetlepunktu(b)
ztwierdzenia1.34implikujeciągłośćnacałejprzestrzeniX.
NiechEbędziezbioremograniczonymwX.PonieważV(pj1)jestoto-
czeniemzeradlakażdegop∈P,mamyE⊂kV(pj1)dlapewnegok<∞.
Stądp(x)<kdlakażdegox∈E,czylipjestograniczonanaE.
