Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
n<n1iγn=kdlank≤k<nk+1.Dlatakichwskaźnikównmamy
d(γnxnj0)=d(kxnj0)≤kd(xnj0)<
k
1
.
Stądγnxn→0,gdyn→∞.
I
Ograniczonośćiciągłość
1.29.Zbioryograniczone.Pojęciezbioruograniczonegowprzestrzenili-
niowotopologicznejXzostałozdefiniowanewparagrafie1.6iużyliśmygo
jużkilkakrotnie.GdyXjestmetryzowalna,możenastąpićzamieszanieze
względunato,żeistniejetakżepojęciezbioruograniczonegowprzestrzeni
metrycznej.
NiechdbędziemetrykąnazbiorzeX.PodzbiórE⊂Xnazywamyd-
ograniczonym,jeśliistniejestałaM<∞taka,żed(xjg)≤Mdlawszyst-
kichxjg∈E.
TerazniechXbędzieprzestrzeniąliniowotopologicznązezgodnązto-
pologiąmetrykąd.KlasyzbiorówograniczonychwXizbiorówd-ograni-
czonychniemusząbyćrówne,nawetgdydjestniezmiennicza.Przykładowo
jeślidjestmetrykątakąjaktaskonstruowanawdowodzietwierdzenia1.24,
tocałaprzestrzeńXjestd-ograniczona(zestałąM=1),ale,jakwykaże-
myponiżej,Xniemożebyćograniczona,chybażeX={0}.JeśliXjest
przestrzeniąunormowanąidjestmetrykązadanąprzeznormę,toograni-
czonośćid-ograniczonośćsątymsamym,aleniebędzietak,jeślizastąpimy
dprzezd1=d
1+d(d1takżejestniezmiennicząmetrykązadającątęsamą
topologię).
Zawszekiedybędziemymówićozbiorachograniczonych,będziemymieli
namyślipojęcieograniczonościzdefiniowanewparagrafie1.6:ZbiórEjest
ograniczonywtedyitylkowtedy,gdydlakażdegootoczeniazeraVmamy
E⊂tVdladostateczniedużycht.
Jakprzekonaliśmysięjużwtwierdzeniu1.15,zbioryzwartesąograni-
czone.Abypoznaćinnyprzykład,wykażemy,żeciągiCauchy’egosąogra-
niczone(acozatymidzie,ciągizbieżnesąograniczone):niech{xn}będzie
ciągiemCauchy’egowXiniechVorazWbędąotoczeniamizeratakimi,
żeV+V⊂W.Wówczas(por.część(b)paragrafu1.25)istniejeNtakie,że
xn∈xN+Vdlakażdegon≥N.Weźmys>1takie,żexN∈sV.Mamy
wtedy
xn∈sV+V⊂sV+sV⊂sW
(n≥N).
Zatemxn∈tW,gdzien≥1,dladostateczniedużycht.
Punkt(f)twierdzenia1.13mówi,żedomknięciazbiorówograniczonych
sąograniczone.
Zdrugiejstrony,jeślix/=0iE={nx:n=1j2j3j...},toEniejest
ograniczony,gdyżistniejeotoczeniezeraV,któreniezawierax,acoza
