Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
35
tymidzie,nxnienależydonV.Wynikastąd,żeżadenzezbiorównVnie
zawieraE.
WkonsekwencjiżadnapodprzestrzeńwX(różnaod{0})niejestzbio-
remograniczonym.
Poniższetwierdzenieopisujezbioryograniczonewterminachciągów.
1.30.Twierdzenie.NiechEbędziepodzbioremprzestrzeniliniowotopolo-
gicznejX.Następującewarunkisąrównoważne:
(a)Ejestograniczony.
(b)Dladowolnegociągu{xn}elementówEidlakażdegociąguskalarów
{On}takiego,żeOn→0,gdyn→∞,mamyOnxn→0,gdyn→∞.
Dowód.Załóżmy,żeEjestograniczony.NiechVbędziezbalansowanym
otoczeniemzerawX.MamywówczasE⊂tVdlaodpowiedniodużycht.
Jeślixn∈EorazOn→0,toistniejetakieN,że|On|t<1dlawszystkich
n>N.Terazskorot11E⊂ViVjestzbalansowane,mamyOnxn∈Vdla
każdegon>N,czyliOnxn→0.
Zdrugiejstrony,jeśliEniejestograniczony,toistniejąotoczeniezera
VorazciągliczbTn→∞takie,żeżadenzezbiorówTnVniezawieraE.
Weźmyzatemxntaki,żexn/∈TnV.Wtakiejsytuacjiżadenzwektorów
T11
nxnnienależydoViwkonsekwencjiciąg{T11
nxn}niezbiegado0.
I
1.31.Ograniczoneodwzorowanialiniowe.NiechXiYbędąprzestrzeniami
liniowotopologicznymiiniechA:X→Ybędzieodwzorowaniemliniowym.
Anazywamyodwzorowaniemograniczonym,jeśliprzeprowadzazbioryogra-
niczonewzbioryograniczone,tj.jeśliA(E)jestograniczonywYdlakażdego
ograniczonegopodzbioruE⊂X.
Powyższadefinicjakłócisięzeznanympojęciemfunkcjiograniczonej
(takiej,którejzbiórwartościjestzbioremograniczonym).Pamiętajmyjed-
nak,żeżadneniezeroweodwzorowanielinioweniemożebyćfunkcjąograni-
czonąwtymsensie.Takwięcomawiającograniczoneodwzorowanialiniowe
(ew.transformacjeliniowe),będziemyzawszeużywaćdefinicjisformułowa-
nejpowyżejwterminachzbiorówograniczonych.
1.32.Twierdzenie.NiechXiYbędąprzestrzeniamiliniowotopologicznymi
iniechA:X→Ybędzieodwzorowaniemliniowym.Pomiędzypodanymi
poniżejczteremawarunkamidlaAzachodząnastępującezwiązki:
(a)⇒(b)⇒(c).
Ponadto,gdyXjestmetryzowalna,mamyrównież
(c)⇒(d)⇒(a)j
awięcwszystkieczterywarunkisąrównoważne.
