Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
29
Dowód.IstniejeotoczeniezeraVwX,któregodomknięciejestzwarte.
Ztwierdzenia1.15wiemy,żeVjestograniczoneizbiory21nV(n=1,2,
3,
...)tworząbazęotoczeńwX.
Vjestzbioremzwartym,więcistniejąx1j...jxmwXtakie,że
V⊂(x1+
1
2
V)∪···∪(xm+
1
2
V).
NiechYbędziepodprzestrzeniąrozpinanąprzez{x1j...jxm}.Jakoże
dimY≤m,ztwierdzenia1.21wiemy,żeYjestdomkniętąpodprzestrzenią
wX.
MamyzatemV⊂Y+1
2V,aponieważAY=Ydlakażdegoskalara
A/=0,widzimy,że
1
2
V⊂Y+
1
4
Vj
awięc
V⊂Y+
1
2
V⊂Y+Y+
1
4
V=Y+
1
4
V.
Kontynuująctenproceswidzimy,że
V⊂
n=1
Π
∞
(Y+21nV).
Zbiór{21nV}jestbaząotoczeń,awięczpunktu(a)twierdzenia1.13wi-
dzimy,żeV⊂Y.AleskoroY=Y,mamyV⊂YorazoczywiściekV⊂Y
dlak=1j2j3j....StądY=Xnamocypunktu(a)twierdzenia1.15
iwkonsekwencjidimX≤m.
I
1.23.Twierdzenie.NiechXbędzielokalnieograniczonąprzestrzeniąliniowo
topologicznąmającąwłasnośćHeinego–Borela.WówczasXjestskończenie
wymiarowa.
Dowód.ZzałożeniawXistniejeograniczoneotoczeniezeraV.Punkt
(f)twierdzenia1.13pokazuje,żezbiórVtakżejestograniczony.Własność
Heinego–Borelamówi,żeVjestzwarty,awięcXjestlokalniezwartaina
mocytwierdzenia1.22skończeniewymiarowa.
I
Metryzowalność
TopologięTnazbiorzeXnazywamymetryzowalną,jeśliistniejemetryka
dnaX,którajestzgodnazT.Wtakimprzypadkukuleośrodkuwx∈X
ipromieniu1
ntworząbazęotoczeńx.Dajetowarunekkoniecznymetryzo-
walności,którydlaprzestrzeniliniowotopologicznychokazujesięrównież
wystarczający.
