Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
1.24.Twierdzenie.JeśliXjestprzestrzeniąliniowotopologicznązprzeli-
czalnąbaząotoczeń,toistniejenaXmetrykadtaka,że
(a)djestzgodnaztopologiąX,
(b)kuleotwarteośrodkuw0sązbalansowane,
(c)djestniezmiennicza:d(x+zjg+z)=d(xjg)dlaxjgjz∈X.
JeśliponadtoXjestlokalniewypukła,todmożnawybraćtak,abyspeł-
nionebyływarunki(a),(b)i(c)oraz
(d)wszystkiekuleotwartesąwypukłe.
Dowód.Zdowodutwierdzenia1.10iztwierdzenia1.14Xmabazęotoczeń
{Vn}taką,że
Vn+1+Vn+1+Vn+1+Vn+1⊂Vn
(n=1j2j3j...).
(1)
JeśliXjestlokalniewypukła,totębazęmożnawybraćtak,abykażdyzbiór
Vnbyłwypukły.NiechDbędziezbioremliczbwymiernychTpostaci
T=
n=1
Σ
∞
cn(T)2
1nj
(2)
gdziekażdyze„współczynników”ci(T)jestalbozerem,albojedynkąitylko
skończeniewieleznichjestróżneodzera.Widzimyzatem,żedlakażdego
T∈Dmamy0≤T<1.
DlaT≥1niechA(T)=X,natomiastdlaT∈Dniech
A(T)=c1(T)V1+c2(T)V2+c3(T)V3+···.
(3)
Zauważmy,żekażdaztychsumjesttaknaprawdęskończona.Zdefiniujmy
f(x)=inf{T:x∈A(T)}
oraz
d(xjg)=f(x−g)
(x∈X)
(4)
(xjg∈X).
(5)
Dodowodutego,żedmażądanewłasności,będziemypotrzebowaćnastę-
pującychinkluzji:
A(T)+A(s)⊂A(T+s)
(Tjs∈D).
(6)
Zanimprzystąpimydodowoduwzoru(6),zobaczmy,jakwynikazniego
resztatezynaszegotwierdzenia.PonieważkażdyA(s)zawiera0,(6)impli-
kuje,że
A(T)⊂A(T)+A(t−T)⊂A(t)j
jeśliT<t.
(7)
Takwięc{A(T)}jestrodzinąliniowouporządkowanązapomocąrelacjiin-
kluzji.Twierdzimy,że
f(x+g)≤f(x)+f(g)
(xjg∈X).
(8)
Dladowodu(8)możemyoczywiściezałożyć,żeprawastronajestmniejsza
niż1.Ustalmys>0.IstniejąTiswDtakie,że
f(x)<Tj
f(g)<sj
T+s<f(x)+f(g)+s.
