Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
d(xnjxm)<s,jeślitylkon>Nim>N.JeślikażdyciągCauchy’egowX
jestzbieżnydopewnegopunktuwX,tometrykędnazywamyzupełną.
(b)NiechTbędzietopologiąnaprzestrzeniliniowotopologicznejX.Po-
jęcieciąguCauchy’egowtejsytuacjimożnawprowadzićbezodwoływania
siędojakiejkolwiekmetryki:ustalmybazęotoczeńBwX.Ciąg{xn}ele-
mentówXnazwiemyciągiemCauchy’ego,jeślidlakażdegoV∈Bistnieje
Ntakie,żexn−xm∈V,oiletylkon>Nim>N.
Jestjasne,żeklasaciągówCauchy’egowXniezależyodwyborulokal-
nejbazyotoczeńdlatopologiiT.
(c)NiechXbędzieprzestrzeniąliniowotopologiczną,którejtopologiaT
jestzgodnazniezmiennicząmetrykąd.Będziemynarazieużywaćterminów
ciągd-Cauchy’egoiciągT-Cauchy’egodlapojęćzdefiniowanychodpowied-
niowpunktach(a)i(b).Ponieważ
d(xnjxm)=d(xn−xmj0)j
ad-kuleośrodkuw0tworząbazęotoczeńdlaT,widzimy,że
Ciąg{xn}wXjestciągiemd-Cauchy’egowtedyitylkowtedy,gdyjest
onciągiemT-Cauchy’ego.
WkonsekwencjidowolnedwieniezmienniczemetrykinaX,któresą
zgodnezT,dajątęsamąklasęciągówCauchy’ego(tj.klasęciągówT-Cau-
chy’ego),jakitęsamąklasęciągówzbieżnych.Powyższeuwagidowodzą
prawdziwościnastępującegofaktu:
Jeślid1id2sąniezmienniczymimetrykaminaprzestrzeniliniowejX,
ktorezadajątęsamątopologięnaX,to
(a)d1id2majątesameciągiCauchy’ego,
(b)d1jestzupełnawtedyitylkowtedy,gdyd2jestzupełna.
Niezmienniczośćmetrykjestzałożeniemistotnym(por.zadanie12).
Kilkakrotnieużyjemyponiższej„zasadyrozciągania”.
1.26.Twierdzenie.Niech(Xjd1)i(Yjd2)będąprzestrzeniamimetrycznymi
iniech(Xjd1)będziezupełna.JeśliEjestdomkniętympodzbioremwX,
af:E→Yjestodwzorowaniemciągłymtakim,że
d2(f(x
′)jf(x′′))≥d1(x′jx′′)
dlawszystkichx′jx′′∈E,tof(E)jestdomknięty.
Dowód.Weźmyg∈f(E).Istniejązatempunkty{xn}wEtakie,że
g=limf(xn).Oznaczato,że{f(xn)}jestciągiemCauchy’egowY.Na-
szezałożeniaimplikują,że{xn}jestciągiemCauchy’egowX.JakożeE
jestzbioremdomkniętymwprzestrzenizupełnej,istniejex=limxn∈E.
Odwzorowaniefjestciągłe,awięc
f(x)=limf(xn)=g.
Innymisłowy,g∈f(E).
I
