Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
31
Oznaczato,żex∈A(T)orazg∈A(s)i(6)implikuje,żex+g∈A(T+s),
awięc
f(x+g)≤T+s<f(x)+f(g)+sj
coprzydowolnościsdaje(8).
KażdyzezbiorówA(T)jestzbalansowany,więcf(x)=f(−x).Jasnejest
również,żef(0)=0.Jeślix/=0,todlapewnegonmamyx/∈Vn=A(21n),
azatemf(x)≥21n>0.
Wykazanepowyżejwłasnościpokazują,że(5)definiujetranslacyjnienie-
zmiennicząmetrykędnaX.Kuleotwarteośrodkuwzerzedlatejmetryki
sątozbioryotwartepostaci
Bδ(0)={x:f(x)<δ}=U
A(T).
(9)
r<δ
Jeśliδ<21n,toBδ(0)⊂Vn,awięcrodzina{Bδ(0)}jestbaząotoczeń
wX,codowodzipunktu(a).DalejwszystkiekuleBδ(0)sązbalansowane,
gdyżwszystkiezbioryA(T)sązbalansowane.JeślizbioryVnsąwypukłe,to
wszystkieA(T)sąwypukłeiwkonsekwencjiwszystkieBδ(0)sąwypukłe.
Niezmienniczośćdpokazujezatem,żewtakimwypadkuwszystkiekulesą
wypukłe.
Przechodzimyterazdodowoduwzoru(6).JeśliT+s≥1,toA(T+
s)=Xi(6)jestspełnionewoczywistysposób.Możemyzatemzałożyć,że
T+s<1.Posłużymysięnastępującymprostymstwierdzeniemdotyczącym
dodawanialiczbwzapisiedwójkowym:
JeśliT,siT+ssąwDorazcn(T)+cn(s)/=cn(T+s)dlapewnegon,
todlanajmniejszegotakiegonmamycn(T)=cn(s)=0icn(T+s)=1.
OznaczmyOn=cn(T),βn=cn(s),γn=cn(T+s).JeśliOn+βn=γn
dlawszystkichn,toz(3)wynika,żeA(T)+A(s)=A(T+s).Wprzeciwnym
wypadkuniechNbędzienajmniejsząliczbąnaturalnątaką,żeON+βN/=
γN.Takjakwspomnieliśmypowyżej,mamywtedyON=βN=0iγN=1.
Stąd
A(T)⊂O1V1+···+ON11VN11+VN+1+VN+2+···
⊂O1V1+···+ON11VN11+VN+1+VN+1.
Podobnie
A(s)⊂β1V1+···+βN11VN11+VN+1+VN+1.
PonieważOn+βn=γndlawszystkichn<N,z(1)wynika,że
A(T)+A(s)⊂γ1V1+···+γN11VN11+VN⊂A(T+s)j
jakożeγN=1.
I
1.25.CiągiCauchy’ego.
(a)NiechdbędziemetrykąnazbiorzeX.Ciąg{xn}punktówXna-
zywamyciągiemCauchy’ego,jeślidlakażdegos>0istniejeNtakie,że
