Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
Udowodnimyrównież,żeskończeniewymiarowepodprzestrzeniesąza-
wszedomknięteorazżenieskończeniewymiaroweprzestrzenieliniowoto-
pologiczneniemogąbyćlokalniezwarte.
Wszystkiepowyższestwierdzeniasąprawdziwerównieżdlaprzestrzeni
liniowychnadciałemliczbrzeczywistych.
1.20.Lemat.
NiechXbędzieprzestrzeniąliniowotopologicznąiniech
f:Cn→Xbędzieodwzorowaniemliniowym.Wówczasfjestciągłe.
Dowód.Niech{e1j...jen}będziestandardowąbaząwC
n:k-tąwspół-
rzędnąekjest1,podczasgdypozostałesąrówne0.Niechuk=f(ek)dlak=
1j...jn.Wówczasf(z)=z1u1+···+znundladowolnegoz=(z1j...jzn)
wCn.Odwzorowaniezl→zkjestciągłedlawszystkich1≤k≤n,awięc
ciągłośćfjestkonsekwencjąciągłościdodawaniaimnożeniaprzezskalary
wX.
I
1.21.Twierdzenie.Niechnbędzieliczbąnaturalną(n>0).JeśliYjest
n-wymiarowąpodprzestrzeniązespolonejprzestrzeniliniowotopologicznej
X,to
(a)każdyizomorfizmCnnaYjesthomeomorfizmem;
(b)Yjestdomknięta.
Dowód.NiechSbędziesferąjednostkowąwCn(brzegiemkulijednostko-
wejB⊂Cn):z∈Swtedyitylkowtedy,gdyΣ|zi|2=1iz∈Bwtedy
itylkowtedy,gdyΣ|zi|2<1.
Niechf:Cn→Ybędzieizomorfizmem,tj.fjestwzajemniejednoznacz-
neif(Cn)=Y.NiechK=f(S).Namocylematu1.20fjestciągłe,awięc
Kjestzbioremzwartym.Dalej,skorof(0)=0ifjestwzajemniejedno-
znaczne,mamy0/∈Kiwkonsekwencjiistniejezbalansowaneotoczenie
zerawXnieprzecinająceK.Zbiór
E=f11(V)=f11(V∩Y)
jestzatemrozłącznyzS.Zliniowościfwynika,żeEjestzbalansowany,
acozatymidziespójny.Oznaczato,żeE⊂B(bo0∈E),czylif11
przeprowadzaV∩YwB.Jakożef11jestn-kąfunkcjonałówliniowych,
implikacja(d)⇒(a)ztwierdzenia1.18pokazuje,żef11jestciągłe.Stąd
fjesthomeomorfizmem.
Dladowodu(b)wybierzmyp∈YiniechforazVbędątakiejakwyżej.
Dlapewnegot>0mamyp∈tV,awięcpnależydodomknięciazbioru
Y∩(tV)⊂f(tB)⊂f(tB).
Zbiórf(tB)jestzwartywX,więcp∈f(tB)⊂Y,czyliY=Y.
I
1.22.Twierdzenie.Każdalokalniezwartaprzestrzeńliniowotopologiczna
jestskończeniewymiarowa.
