Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Przestrzenieliniowotopologiczne
19
jestprzestrzeniąHausdorffa,jeślikażdedwaróżnepunktySmająrozłączne
otoczenia.PodzbiórKwSnazywamyzwartym,jeślizkażdegopokrycia
otwartegozbioruKmożnawybraćpodpokrycieskończone.RodzinęT′⊂T
nazywamybazątopologiiT,jeślikażdyelementT(tj.każdyzbiórotwarty)
jestsumąelementówT′.Rodzinęγotoczeńpunktupnazywamybaząotoczeń
punktup,jeślikażdeotoczeniepzawieraelementzrodzinyγ.
NiechE⊂SiniechσbędzierodzinączęściwspólnychE∩Vpowszyst-
kichV∈T.Nietrudnosprawdzić,żeσjesttopologiąnaE.Mówimy,żeσ
jesttopologią,którąEdziedziczyzS.
JeślitopologiaTjestzadanaprzezmetrykęd(patrzparagraf1.2),to
mówimy,żediTsązesobązgodne.
Ciąg{xn}elementówprzestrzeniHausdorffaXjestzbieżnydopunktu
x∈X(piszemylim
n→∞
xn=x),jeślikażdeotoczeniepunktuxzawiera
wszystkiezwyjątkiemskończeniewieluwyrazyciągu{xn}.
1.6.Przestrzenieliniowotopologiczne.NiechTbędzietopologiąnaprze-
strzeniliniowejXtaką,że
(a)każdypunktprzestrzeniXjestzbioremdomkniętym,
(b)operacjeprzestrzeniliniowejwXsąciągłewzględemT.
Jeślipowyższewarunkisąspełnione,toTnazywamytopologiąliniową
naX,aoXmówimy,żejestprzestrzeniąliniowotopologiczną.2
Warunek(a)możnawyrazićniecoprecyzyjniej:dlakażdegox∈Xzbiór
jednopunktowy{x}jestzbioremdomkniętym.
Wwielupracachwarunek(a)wdefinicjiprzestrzeniliniowotopolo-
gicznejjestopuszczany.Zewzględunato,że(a)spełnionyjestwniemal
wszystkichzastosowaniachizałożeniawiększościtwierdzeńzawierają(a),
dobrymrozwiązaniemwydajesięumieszczenietegowarunkuwaksjoma-
tach.(Twierdzenie1.12pokazuje,iż(a)i(b)wspólnieimplikują,żeTjest
topologiąHausdorffa.)
Wymaganieciągłościdodawaniajestniczyminnymjakwarunkiem,że
odwzorowanie
(xjg)l→x+g
iloczynukartezjańskiegoX×XwXjestciągłe,tzn.jeślidlai=1j2mamy
xi∈XorazjeśliVjestotoczeniemx1+x2,toistniejąotoczeniaViwektorów
xitakie,że
V1+V2⊂V.
Podobniezałożenieociągłościmnożeniaprzezskalarymówityle,że
odwzorowanie
(Ojx)l→Ox
2Używasięteżokreśleniatopologiawektorowa(przyp.tłum.).
