Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
CzęśćI.Zagadnieniaogólne
żetakjestwtedyitylkowtedy,gdy0∈Yoraz
OY+βY⊂Y
dladowolnychskalarówOiβ.
PodzbiórC⊂Xnazywamywypukłym,jeśli
tC+(1−t)C⊂C
(0≤t≤1).
Innymisłowy,jeślixjg∈Corazt∈[0j1],totx+(1−t)g∈C.
PodzbiórA⊂Xnazywamyzbalansowanym1,jeśliOA⊂Adladowol-
negoO∈otakiego,że|O|≤1.
Mówimy,żeprzestrzeńliniowaXmawymiarn(piszemydimX=n),
jeśliXmabazę{u1j...jun}.Oznaczato,żekażdywektorx∈Xmado-
kładniejednoprzedstawieniepostaci
x=O1u1+···+Onun
(Oi∈o).
JeślidimX=ndlapewnegon,tomówimy,żeprzestrzeńXjestskończenie
wymiarowa.DlaX={0}mamydimX=0.
Przykład.JeśliX=C(czyliXjestjednowymiarowąprzestrzeniąliniową
nadciałemC),tozbioramizbalansowanymisąC,zbiórpusty∅iwszyst-
kiedomknięteiotwartedyskiośrodkuw0∈C.JeśliX=R2(dwuwy-
miarowaprzestrzeńliniowanadciałemR),tomamydużowięcejzbiorów
zbalansowanych.Przykładowokażdyodcinekośrodkuwpunkcie(0j0)jest
podzbioremzbalansowanymwX.Istotarzeczyleżywtym,żepomimo
oczywistejidentyfikacjiCzR2,tedwazbiorymajązupełnieinnąstrukturę
jakoprzestrzenieliniowe.
1.5.Przestrzenietopologiczne.PrzestrzeńtopologicznajesttozbiórSwraz
zwyróżnionąrodzinąTpodzbiorówS(nazywanychzbioramiotwartymi)
onastępującychwłasnościach:Sjestotwartyi∅jestotwarty,częśćwspólna
dwóchzbiorówotwartychjestzbioremotwartymorazsumadowolnejro-
dzinyzbiorówotwartychjestzbioremotwartym.TakąrodzinęTnazywamy
topologiąnaS.Dlauniknięcianiejasnościbędziemyniekiedystosowaćsym-
bol(SjT)naoznaczenieprzestrzenitopologicznejSztopologiąTwmiejsce
literyS.
Poniżejprzedstawimystandardowesłownictwostosowanedlapowyż-
szychSiT.
PodzbiórE⊂Snazywamydomkniętymwtedyitylkowtedy,gdyjego
dopełnieniejestzbioremotwartym.DomknięcieEzbioruEjesttoczęść
wspólnawszystkichzbiorówdomkniętychzawierającychE.WnętrzeEojest
tosumawszystkichzbiorówotwartychzawartychwE.Otoczeniempunktu
p∈Snazywamydowolnyotwartyzbiórzawierającyp.Mówimy,że(SjT)
1Wliteraturzespotykasięrównieżokreśleniezrównoważony(przyp.tłum.).
