Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
42
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
x=aix=b.Jeżelif(x)niejestdodatnia,tocałkajestrównasumarycznemupolu,
przyczympolefragmentównadosiąxtraktujemyjakododatnie,apodosiąx—jako
ujemne.
Niebędziemyoczywiścieużywaćdoobliczeniacałekrównań(7.1)i(7.2).Jakwie-
cie(ijaktoniebawemudowodnimy),całkowaniejestoperacjąodwrotnądoróżniczko-
wania,będziemywięcobliczaćcałki,korzystając(wprzeciwnymniżprzyróżniczkowa-
niukierunku)ztablicpochodnych.Wrzeczywistościjednymznajwiększychosiągnięć
LeibnizaiNewtonawrozwijaniurachunkuróżniczkowegoicałkowegopodkoniecXVII
wiekubyłodostrzeżenieidocenieniezwiązkumiędzyróżniczkowaniemicałkowaniem.
Wcześniejznanowzorynastycznedowielukrzywychipotrafionoobliczaćpola
podwykresamiwielufunkcji—częstobardzopomysłowymi,żebyniepowiedziećpo-
krętnymimetodami,jednakzwiązekmiędzyznajdowaniemstycznejdowykresufunkcji
aliczeniempolapodwykresemtejfunkcjiniebyłznany13.Dobrymprzykłademrozumo-
waniapozwalającegonaobliczeniepolaograniczonegopewnymikrzywymijestwynik
Archimedesa,któryobliczyłpolepodparaboląopisanąrównaniemy=x2naniemal
dwatysiącelatprzedwprowadzeniemrachunkuróżniczkowego.Wiemy,żepoletojest
równe
A=∫
a
b
x2dx=
x3
3
b
a
=
b3–a3
3
,
alepoświęćmytrochęmiejscanaprzeanalizo-
wanietego„przedróżniczkowego”rozumowa-
nia.Zacznijmyodprostegoprzykładu:y=x.
Niepotrzebujemyanalizymatematycznejdo
obliczeniapolaodadobpodtąkrzywą,
bojestonorówneróżnicypóldwóchtrójką-
tów(rys.1.50).Oczywiściescałkowaniefunk-
cjiy=xodadobdatensamwynik:
Rys.1.50.Całka∫
axdxjestrównapoluza-
b
[x2/2]b
a=(b2–a2)/2.Abyprzygotowaćsię
cieniowanegoobszaru
dorachunkuArchimedesadlay=x2,wy-
znaczmycałkęf(x)=xzapomocąprzejścia
granicznego.Dlawygodyprzyjmijmy,żenpodprzedziałówzrównania(7.1)jestrówne,
∆x=(b–a)/n,aĘjtoprawykoniecj-tegopodprzedziału.Wówczas
n
n
n
n
n
Sn=
Σ
Ęj∆x=
Σ
(a+j∆x)∆x=a
Σ
∆x+
Σ
j(∆x)2=an∆x+(∆x)2
Σ
j.
j=1
j=1
j=1
j=1
j=1
Ostatniasumatosumapierwszychnliczbnaturalnych—jestonarównan(n+1)/2
(zadanie12);wyniktenbyłznanywczasachArchimedesa.Mamywięc
Sn=na∆x+
n(n+1)
2
(∆x)2.
13Niedokońcajesttoprawda—twierdzenieotym,żesątooperacjeprzeciwnepochodziodwybit-
negomatematykaangielskiegoIzaakaBarrowa,nauczycielaipoprzednikaNewtonanakatedrzeLucasa
wCambridge(przyp.tłum.).
