Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
10.Obliczlim
x→0+
1+e–1/x
1
.
11.Ciąg(un)spełniarównanieun=√12+un–1.Wiadomo,żeciągtenmagranicę.Znajdźjej
wartość.
12.Załóżmy,żedlawszystkichxzpewnegonakłutegootoczeniaazachodząnierównościf(x)
≤g(x)≤h(x).Udowodnij,żejeżelilimx→af(x)=limx→ah(x)=L,torównież
limx→ag(x)=L.Twierdzenietojestczasemnazywanetwierdzeniemotrzechfunkcjach.
13.Wykaż,żelimx→af(x)g(x)=[limx→af(x)][limx→ag(x)].
14.Funkcjay=1/(1–x)2rośnienieograniczenieprzyx→1.Znajdźδtakie,żey>106,
gdy|x–1|<δ.
KorzystajączktóregośzprogramówCAS,oblicznastępującegranice:
15.lim
x→1
√x–1.
x–1
16.lim
x→2
x2–3x+2
x–2
.
17.lim
x→∞
3x2–2x+1
2x2+xe–x
.
18.
x→2+
lim
(x–2)2
x2–4
.
19.
x→2–
lim
(x–2)2
x2–4
.
20.
x→0+
lim
(x3–1)|x|
x
.
1.3.CIĄGŁOŚĆ
Mówimy,żefunkcjaf(x)jestciągława,gdyspełnionesąnastępującetrzywarunki:
1.f(x)jestokreślonawa,
2.istniejelimx→af(x),
3.limx→af(x)=f(a).
Możemyjestreścić,pisząc
x→a
lim
f(x)=f(lim
x→a
x)=f(a).
Jeżelifunkcjaf(x)niespełniaktóregośztychwarunków,mówimy,żejestnieciągława.
Naprzykładfunkcja1/xjestnieciągławx=0,gdyżniejestwx=0określona,nie
istniejerównieżlimx→0(1/x).Funkcjaf(x)=(x2–1)/(x–1)jestnieciągławx=1,
bof(1)niejestokreślone,alekorzystajączfaktu,żex2–1=(x–1)(x+1),możemy
pokazać,żelimx→1f(x)=limx→1(x+1)=2.Warunek2jestwięcspełniony.Wtakim
przypadkumówimy,żex=1jestusuwalnąnieciągłościąfunkcjif(x).
Bardziejformalnadefinicjaciągłościmówi,żef(x)jestciągławx=a,jeżelido
dowolniemałego,dodatniegosmożnadobraćtakieδ(zależnezarównoods,jakia),by
|f(x)–f(a)|<s,oile|x–a|<δ.Używającktórejkolwiekdefinicjiirównania(2.2),
możemyłatwopokazać,żejeżelif(x)ig(x)sąciągłewx=a,torównieżf(x)+g(x),
f(x)g(x)orazf(x)/g(x)(oileg(a)/=0)sąciągłewx=a.
Intuicyjnienieciągłośćtoprzerwalubskokwwykresiefunkcji.Naprzykładfunkcja
schodkowaHeaviside’a(rys.1.22)manieciągłość—skokwx=0,równieżfunkcja
zdefiniowanawzorem
