Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.CIĄGŁOŚĆ
f(x)=x2+1dla–1≤x≤1,x/=0,
0
dlax=0
jestnieciągławx=0(rys.1.25).
17
Rys.1.25.Wykresfunkcjinieciągłej:f(x)=x2+1
Rys.1.26.Wykresfunkcjif(x)=1/(1–x)2bli-
dla–1≤x≤1,x/=0orazf(x)=0dlax=0
skopunktux=1
Innytypnieciągłościmożemyzaobserwowaćnaprzykładziefunkcji1/(1–x)2
wx=1(rys.1.26).Mówimy,że1/(1–x)2manieskończonąnieciągłośćwx=1.
Takjakwprowadziliśmylewo-iprawostronnegranice,takmamylewo-iprawo-
stronnąciągłość.Naprzykładf(x)jestprawostronnieciągława,gdylimx→a+f(x)=
f(a)(inaczej:gdyf(a+)=f(a)).Funkcjajestciągławx=a,gdyjestzarówno
prawo-,jakilewostronnieciągławtympunkcie.
Mówimy,żefunkcjajestciągłanapewnymprzedziale,gdyjestciągławewszystkich
punktachtegoprzedziału.Jeżeliprzedziałjestdomknięty(awięcjestprzedziałem[a,b]
dlapewnycha<b),tobyf(x)byłananimciągła,musiteżbyćciągławkońcach
przedziału,awięcprawostronnieciągławailewostronnieciągławb.
PRZYKŁAD1
Czyf(x)=|x|–xjestciągładla–∞<x<∞?
Rys.1.27.Wykresfunkcjif(x)=|x|–x
Rozwiązanie:f(x)=2x,gdyx≤0if(x)=0,gdyx≥0.Funkcjaf(x)jestwięcciągłana
całejosix(rys.1.27).
PRZYKŁAD2
Czyfunkcjaf(x)=1/xjestciągławprzedziale[0,1]?Awprzedziale(0,1]?
Rozwiązanie:Punktx=0należydoprzedziału[0,1],więcf(x)niejestwtymprzedzialeciągła
(f(x)niejestokreślonawx=0).Jedynyobszarwprzedziale(0,1],wktórymmogąpojawić
