Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.RÓŻNICZKI
1.5.RÓŻNICZKI
31
Wpodręcznikachanalizymatematycznejpodkreślasię,żewyrażeniedy/dxjestsamo-
dzielnymoznaczeniem,anieilorazemdyprzezdx.Późniejjednakużywamytakich
wyrażeń,jakdy=y,(x)dx,nieprzejmującsiętymzanadto.Zastosowaniewyrażenia
dy=y,(x)dxjestjednakusprawiedliwione,jeżelitraktujemyjejakoróżniczkęy.Róż-
niczekużywasięteż,jakzobaczymy,przyszacowaniubłędówpomiarowych.
Pochodnafunkcjiy=y(x)jestdanaprzez
y,(x)=lim
∆x→0
∆y
∆x
,
(5.1)
gdzie∆y=y(x+∆x)–y(x).Dlamałychwartości∆xspodziewamysięwięc,że
y,(x)będziebliskie∆y/∆x,inaczej
∆y≈y,(x)∆x
dlamałych∆x.
(5.2)
Możemytęzależnośćprzekształcićdo
y(x+∆x)≈y(x)+y,(x)∆x.
(5.3)
Skorzystajmyztegowyrażeniadooszacowaniawartościsin(0,1).Wtymprzypadku
mamyy(x)=sinx,x=0,∆x=0,1,y,(x)=cosx,więcrównanie(5.3)mapostać
sin(0,1)≈sin0+(0,1)cos0=0,1.
Wartośćsin(0,1)zdokładnościądo4miejscpoprzecinkuto0,09983.
PRZYKŁAD1
Załóżmy,żebadamyobjętośćsfery,mierzącobwódjejrównika;otrzymaliśmyobwódrówny
162cmzdokładnością0,20cm.Oszacujemybłąddokonanegowtensposóbpomiaruobjętości
sfery.
Rozwiązanie:Objętośćsferyopromieniurto4πr3/3,aobwódjejrównikatoC=2πr.Mamy
więc
V=
4πr3
3
=
6π2
C3
.
Zapomocąrównania(5.3)dostajemy
niepewność(błąd)pomiaruV=∆V=d
dC∆C,
V
awięc
∆V=
2π2∆C=
C2
(162cm)2
2π2
(0,20cm)≈266cm3,
więcbłądwzględnyjestrównyok.0,4%,gdyż∆V/V=(266cm/71800cm)≈0,0037.
Narysunku1.42przedstawionoprzyrosty∆yi∆xorazprostąstycznądowykresu
wx.Wielkość∆y=y(x+∆x)–y(x)tozmianawwartościy,jakazajdzie,gdy
przesuniemysięodxdox+∆xpowykresie,dyzaś—gdyprzesuniemysiępoprostej
