Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.RÓŻNICZKOWANIE
9.Znajdźnajmniejsząwartośćfunkcjif(x)=1+x2/3.
29
10.Udowodnij,żefunkcjaf(x)=(x–1)2(x–2)2jestsymetrycznawzględempionowejpro-
stejx=3/2.
11.Udowodnij,żejeżeliy=f(x)orazx=g(y),to
dy
dx
=
dx
dy
1
.
Wskazówka:Zróżniczkujf(g(x))jakofunkcjęzłożoną.
12.Pokaż,że
dx
d
uv=vuv–1
du
dx
+(lnu)uv
dv
dx
.Wskazówka:Podstawy=uvizróżniczkujlny.
13.Korzystajączwynikupoprzedniegozadania,oblicz
dx
d
xx.
14.Udowodnij,żenarysunku1.41α=β.Własnośćtazwanajestwłasnościąodbiciaparaboli
ijestpodstawądziałaniazwierciadłaparabolicznego;światłopadającenazwierciadłojest
skupianewpunkcieF,zwanymogniskiemparaboli.Równanieparabolitoy2=4px,gdzie
pjestdługościąodcinkaOFnarysunku1.41.
Rys.1.41.Własnośćodbiciaparaboli(zadanie14)
15.Zauważ,żerównanie(4.1)definiujef,(a).Zwykleobliczamyf,(a),znajdujacogólnie
f,(x),anastępnieprzyjmującx=a,aletaproceduraniezawszejestrównoważnarów-
naniu(4.1).Rozważmyfunkcję
f(x)=x2sin(1/x),x/=0,
0,
x=0.
Pochodnątejfunkcjiwx=0jestzdefinicji
f,(0)=lim
∆x→0
f(0+∆x)–f(0)
∆x
.
Sprawdź,żewtymprzypadkuf,(0)=0.Następnieobliczf,(x)iwykaż,żenieistniejegra-
nicaf,(x)przyx→0,gdyżnieistniejelimx→0cos(1/x),azatemf,(0)/=limx→0f,(x).
Problemwtym,żef,(x)niejestfunkcjąciągłąwx=0.Funkcje,zjakimistykamysięwza-
gadnieniachfizycznych,niemalzawszemająciągłepochodne,alewartopamiętaćorówna-
niu(4.1).
