Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
ZADANIADOPODROZDZIAŁU1.5
1.Wiedząc,że
√125=5,oszacujwartość
3
√120.
3
2.Pomiarkrawędzisześcianudałwynik8,00cm±0,02cm.Oszacujbłądwwyznaczaniuob-
jętości.
3.Znajdźpostaćs=
∆x→0.
∆x
∆y
–
dy
dx
dlafunkcjiy=x3+x2+6x–3.Sprawdź,żes→0,gdy
4.Znajdźpostaćs=
∆x
∆y
–
dy
dx
dlafunkcjiy=1/(x+a).Sprawdź,żes→0,gdy∆x→0.
5.Znajdź∆yidydlay=y(x)=x2–xprzyx=10i∆x=0,1.Naszkicujodpowiedni
rysunek,nawzórrysunku1.42.
6.Znajdź∆yidydlay=y(x)=x1/2przyx=4,00i∆x=0,35.Obliczbezwzględny
iwzględnybłąd,jakipopełniamy,zastępując∆yprzezdy.
7.Oszacujzmianęwartościcos9,gdy9zmieniasięz250na25,20.
8.Znajdźdydlay=
x1/2
(a)
,
(b)
4x4
1
,
(c)tg2x,
(d)
2x1/2
1
.
4
9.Znajdźdydlay=
(b)sin√x,
(c)ecosx.
(a)(x2–2)1/3,
10.Czyy=(1+2lnx)/(x–lnx)spełniazależność(xy–y–2)dx+(x2–xlnx)dy=0?
11.Zapomocąróżniczekwyznaczdy/dx,gdy:
(a)x2siny=
1
2
,
(b)x3+y2=6xy,
(c)
x2
a2
+
y2
b2
=1.
1.6.TWIERDZENIAOWARTOŚCIŚREDNIEJ
Jednoztwierdzeńofunkcjachróżniczkowalnychjestużywanebardzoczęstozarówno
wzastosowaniach,jakiwczystejmatematyce.Twierdzenietoznanejestjakotwier-
dzenieLagrange’aowartościśredniej.Zanimdoniegoprzejdziemy,rozważymynieco
prostszetwierdzenieRolle’a:
Niechf(x)będzieciągłanaprzedzialedomkniętym[a,b]iróżniczkowalnana
otwartymprzedziale(a,b).Jeżelif(a)=f(b)=0,towprzedziale(a,b)istnieje
conajmniejjedenpunktĘtaki,żef,(Ę)=0.
Sytuacjętępokazujerysunek1.43.Innymisło-
wy,jeżeliwykresfunkcjiciągłejf(x)przecina
ośxwpunktachx=aix=bijeżeliponadto
funkcjaf(x)jestróżniczkowalnapomiędzya
ib,towprzynajmniejjednympunkciemiędzy
aibpochodnaf(x)jestrównazeru.Dowód
twierdzeniaRolle’ajestnaszkicowanywzada-
Rys.1.43.IlustracjadotwierdzeniaRolle’a
niu13.
