Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
36
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
Jeżelif(x)ijejpierwszenpochodnychsąciągłew[a,b],zaśf(n+1)(x)istnieje
w(a,b),todlapewnegopunktuĘwprzedziale[a,b]mamy
f(b)=f(a)+f,(a)(b–a)+
f,,(a)
2!
(b–a)2+
f(3)(a)
3!
(b–a)3+···
+
f(n)(a)
n!
(b–a)n+
f(n+1)(Ę)
(n+1)!
(b–a)n+1.(6.3)
Zarysdowodutegotwierdzeniajestprzedstawionywzadaniu17.Twierdzenieowartości
średniejotrzymujemyz(6.3),przyjmującn=0.
Jeżeliwrównaniu(6.3)wstawimyxwmiejsceb,to
f(x)=f(a)+f,(a)(x–a)+
f,,(a)
2!
(x–a)2+
f(3)(a)
3!
(x–a)3+···
+
f(n)(a)
n!
(x–a)n+
f(n+1)(Ę)
(n+1)!
(x–a)n+1,(6.4)
gdziea<Ę<x.Równanie(6.4)towzórTaylorazresztą,gdzieresztąnazywamy
Rn=
f(n+1)(Ę)
(n+1)!
(x–a)n+1.
Będziemykorzystaćztychwyrażeńwpóźniejszychrozdziałach.
(6.5)
PRZYKŁAD2
Zapomocąrównania(6.4)obliczymywartośćln(1,2)zdokładnościądoczterechmiejscpoprze-
cinku.
Rozwiązanie:Wrównaniu(6.4)przyjmijmyf(x)=lnxoraza=1:
lnx=(x–1)–
1
2
(x–1)2+
1
3
(x–1)3+···+
(–1)n–1(x–1)n
n
+
(–1)n
n+1
(Ę–1)n+1,
przyczym1<Ę<1,2.Chcemy,byresztabyła≤0,00005.Byłabyonanajwiększa,gdyby
Ę=1,2—wówczas|Rn|byłobyrówne(0,2)n+1/(n+1),awięcdlan=4miałobywar-
tość6,4·10–5,dlan=5byłoby1,077·10–5,dlan=6byłoby1,83·10–6.Byuzyskać
wynikzdokładnościądoczterechmiejscpoprzecinku,wystarczywięcprzyjąćn=5.Dajeto
ln(1,2)=0,18233,podczasgdytablicepodająwartość0,18232.
Zwstępnegokursurachunkuróżniczkowegopamiętaciezapewneregułędel’Hospi-
tala.Używaliściejejdoobliczaniagranic,wktórychotrzymujesięwyrażenianieokre-
ślone,takiejak0/0,0·∞,∞/∞.Reguładel’Hospitalamówi,żejeżelifunkcjef(x)
ig(x)obiedążądo0lubobiedążądo±∞,to
lim
f(x)
g(x)
=lim
f,(x)
g,(x)
,
(6.6)
