Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
38
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
Wiemyjednak,żelimxne–x=0przyx→∞dlan=1,musiwięcteżtakbyćdla
n=2,n=3itd.Wynikten,wartzapamiętania,mówi,żee–xdążydo0przyx→∞
szybciejniżjakakolwiekpotęgax.
Innawartazapamiętaniagranicato
x→∞
lim
lnx
xα
=0
(6.8)
dlakażdegoα>0.Wyniktenmówi,żelnx→∞przyx→∞wolniej,niżja-
kakolwiek(ijakkolwiekmała)dodatniapotęgax(zadanie7),lub,równoważnie,że
xαlnx→0przyx→0dlakażdegoα>0(zadanie8).
Zinnymiwyrażeniaminieokreślonymi,jak00,∞0,1∞częstomożnaporadzićsobie
przezzlogarytmowaniebadanejfunkcjiiprzekształceniewynikudoktórejśzestandar-
dowychpostaci0/0lub∞/∞.Rozważmynaprzykładlimx→0+xx.Przyjmijmyy=xx
izauważmy,żelimx→0+lny=limx→0+xlnx=0,awięclimx→0+y=1,coostatecz-
niedajelimx→0+xx=1.
PRZYKŁAD4
Rys.1.47.Wykresfunkcjif(n)=
Asymptotęzaznaczonoliniąprzerywaną
√2.
n
Znajdziemylimn→∞n
√p,gdziep>0.
Rozwiązanie:Przyjmijmyy=n
√p,zlogarytmujmy
ipotraktujmynjakozmiennąciągłą:
n→∞
lim
lny=lim
n→∞
1
n
lnp=0.
Stądlimn→∞y=limn→∞n
√p=1.Rysunek1.47
przedstawiawykres
√2jakofunkcjizmiennejn.
n
Wzadaniu12należywykazać,że
√n→1przy
n
n→∞.
Cozrobić,gdypozastosowaniuregułydel’Hospitalawciążmamywyrażenienie-
określone?Należyjąpoprostustosowaćtakdługo,ażgranicaniebędziewyrażeniem
nieokreślonym12.Naprzykład
x→1
lim
2x3–18x2+30x–14
2x3–9x2+12x–5
=lim
x→1
6x2–18x+12
6x2–36x+30
=lim
x→1
12x–18
12x–36
=
1
4
.
Przyjrzyjciesięjednakzadaniu11.
12Niezawszejesttodobrametoda.Zdarzasię,żebezmyślnestosowanieregułydel’Hospitalaniepolep-
sza,leczpogarszasytuację,naprzykładgdyużywamyjejdogranicylimx→0
1/x2
1/x
.Innyprzykład,wktórym
reguładel’Hospitalaniedarezultatu,tolimx→∞
e1/x2(przyp.tłum.).
e1/x
