Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
46
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
Zauważcie,żeużyliśmytuu,aniex,jakozmiennej,poktórejcałkujemy,dziękiczemu
możemyodróżnićgórnągranicęcałkowaniaodzmiennejcałkowania.Sposób,wjaki
oznaczymyzmiennącałkowania,jestdowolnyiniewpływawżadensposóbnawynik.
Innymisłowy,
F(x)=∫
a
x
f(u)du=∫
a
x
f(z)dz=∫
a
x
f(t)dt;
całkizezmiennymicałkowaniaopisanymiróżnymisymbolamisącałkowicierównoważ-
ne.Jednakżenależyunikaćpisania
F(x)=∫
a
x
f(x)dx;
jesttozłyzwyczaj,gdyżzmiennaxwgórnejgranicycałkowaniaixjakoargument
funkcjipodcałkowejopisująróżnewielkości.
Podstawowetwierdzenieanalizymatematycznejmówi,żejeżelif(x)jestciągła
wprzedziale[a,b]i
F(x)=∫
a
x
f(u)du,
(7.14)
toF(x)jestfunkcjąpierwotnąf(x),czyliF,(x)=f(x)naprzedziale(a,b).Podsta-
wowetwierdzenieanalizymatematycznejpokazuje,żecałkowanieiróżniczkowaniesą
operacjamiodwrotnymidosiebie.Użytecznośćtegotwierdzeniajestnieoceniona,nie
byłoonowzasadzieznaneprzedNewtonemiLeibnizem15.
Byuzyskaćf(x)zrównania(7.14),różniczkujemyjepogórnejgranicycałkowa-
niax.Napiszmy
F(x+∆x)–F(x)=∫
a
x+∆x
f(u)du–∫
a
x
f(u)du=∫
x
x+∆x
f(u)du.
Zakładając,żef(x)jestciągłanaprzedziale(x,x+∆x),możemyskorzystaćzcałko-
wegotwierdzeniaowartościśredniejinapisać
F(x+∆x)–F(x)=f(Ę)∆x.
Dzielącostatnierównaniestronamiprzez∆xiprzechodzącz∆xdo0,dostajemy
dF
dx
=F,(x)=f(x).
(7.15)
Równania(7.14)i(7.15)podsumowująpodstawowetwierdzenieanalizymatematycznej.
Taksięskłada,żemożemyuogólnićpowyższeróżniczkowaniecałkinaprzypadek,
wktórymobiegranicecałkowaniasąfunkcjamizmiennejx.Jeżeli
G(x)=∫
u(x)
v(x)
f(t)dt,
15Jakjużwspomniano,niejesttodokońcaprawda,wynikiLeibnizaiNewtonarzuciłynoweświatłona
totwierdzenie,pochodzionojednakodI.Barrowa(przyp.tłum.).
