Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
44
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
Jeżelif(x)≤g(x)w[a,b],to(zadanie15)
∫
a
b
f(u)du≤∫
a
b
g(z)dz.
Zachodzirównieżnierówność(zadanie18)
l
l∫
l
l
a
b
f(x)dx
l
l
l
l
≤∫
a
b
|f(x)|dx.
PRZYKŁAD1
(7.7)
(7.8)
Udowodnimy,żelim
n→∞∫
0
2π
x2+n2
cosnx
dx=0.
Rozwiązanie:Zastosujemynierówność(7.8),pisząc
l
l∫
l
l
0
2π
x2+n2
cosnx
dx
l
l
l
l
≤∫
0
2π
l
l
l
l
x2+n2
cosnx
l
l
l
l
dx≤∫
0
2π
x2+n2
dx
≤∫
0
2π
dx
n2
=
2π
n2
,
atenostatniułamekdążydo0przyn→∞.Przyprzejściuoddrugiegodotrzeciegowyrażenia
skorzystaliśmyztego,że|cosnx|≤1.
Niechfunkcjaf(x)będziekawałkamiciągła,znieciągłościątypuskokwx=c.
Wówczas
I=∫
a
b
f(x)dx=lim
s→0∫
a
c–s
f(x)dx+∫
c+s
b
f(x)dx.
(7.9)
PRZYKŁAD2
Znajdziemypoleobszarupomiędzyosiąx
awykresemfunkcji
f(x)=
[
'
'
'
'
ł
'
'
'
'
l
0,
1,
2,
0,
x<0,
0≤x<1,
1≤x<2,
x≥2
Rys.1.51.Funkcjaf(x)=0dlax<0;f(x)=1dla
(rys.1.51).
0≤x<1;f(x)=2dla1≤x<2;f(x)=0dlax≥2
Rozwiązanie:
I=lim
s→0∫
0
1–s
dx+lim
s,s,→0∫
1+s
2–s,
2dx=lim
s→0
(1–s)+2lim
s,s,→0
(2–s,–1+s)=3.
Wprzykładzie2mamyfunkcjęzdwomapunktaminieciągłości,aleuogólnienie
równania(7.9)naprzypadekwięcejniżjednejnieciągłościjestoczywiste.Wrzeczywi-
stościf(x)możemiećnieskończeniewielenieciągłościtypuskok,oiletylkojestich
