Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.7.CAŁKOWANIE
43
Wiemyjednak,że∆x=(b–a)/n,więc
Sn=a(b–a)+
(b–a)2
2
+
(b–a)2
2n
,
azatem
∫
a
b
xdx=lim
n→∞
Sn=
b2–a2
2
.
Wprzypadkupolapodkrzywąy=x2wanalogicznysposóbdostaniemy
n
n
n
Sn=
Σ
(a+j∆x)2∆x=na2∆x+2a(∆x)2
Σ
j+(∆x)3
Σ
j2.
j=1
j=1
j=1
Sumakwadratówpierwszychnliczbnaturalnychjestrównan(n+1)(2n+1)/6,co
równieżdobrzewiedzielistarożytniGrecy(zadanie13).Mamyzatem
Sn=a2(b–a)+
a(b–a)2n(n+1)
n2
+
(b–a)3
6
n(n+1)(2n+1)
n3
→
b3–a3
3
przyn→∞,
czyli
∫
a
b
x2dx=
b3–a3
3
.
Powinniśmywspomniećtuokilkuwłasnościachcałekoznaczonych.Większośćznich
wynikabezpośredniozdefinicjidanejwrównaniu(7.1).Jeżelic1ic2sąstałe,to
∫
a
b
[c1f1(x)+c2f2(x)]dx=c1∫
a
b
f1(x)dx+c2∫
a
b
f2(x)dx.
(7.3)
Równanie(7.3)przypominarównanie(4.3)dlapochodnych.Takjakwrozdziale4defi-
niowaliśmyoperatorróżniczkowania,takmożemyterazzdefiniowaćoperatorcałkowa-
nia:
If(x)=∫
ˆ
a
b
f(x)dx.
Równanie(7.3)oznacza,żecałkowaniejestoperacjąliniową:
I[c1f1(x)+c2f2(x)]=c1ˆ
ˆ
If1(x)+c2ˆ
If2(x).
(7.4)
Innewłasnościwynikającezrównania(7.1)tonaprzykład
∫
a
b
f(x)dx=∫
a
c
f(x)dx+∫
c
b
f(x)dx,
(7.5)
oiletylkof(x)jestcałkowalnawprzedziałach[a,c]i[c,b](awięcpodwarunkiem,że
granicedefiniująceobiecałkiistnieją).Jeżelim≤f(x)≤Mwprzedziale[a,b],to
m(b–a)≤∫
a
b
f(x)dx≤M(b–a).
(7.6)
