Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
18.Udowodnij,żezachodzinierównośćtrójkąta|a+b|≤|a|+|b|.Wskazówka:Dodajstrona-
minierówności–|a|≤a≤|a|i–|b|≤b≤|b|.
19.Wyprowadźwzórfunkcjif(f(x)),gdyf(x)=x2+1.
20.Podajwzórfunkcjif(g(y)),gdyg(x)=1/(1+x),af(y)=1/y2.
21.Wykaż,żefunkcjay=f(x)=(x+1)/(x–1)jestodwrotnadosamejsiebie,innymi
słowy,żex=(y+1)(y–1).
22.Dlajakichwartościxzachodzi
(a)x2+2<3x,
(b)–2<
3x+1
x–1
<2?
23.Narysujwykresfunkcjif(x)=Σ
∞
n=0H(x–n).
24.Narysujwykresfunkcjif(x)=Σ
∞
n=0(–1)nH(x–n).
1.2.GRANICE
Wtympodrozdzialebędziemybadaćpojęciegranicy.Nimdotegodojdziemy,musi-
mywprowadzićinnepojęcie—otoczenia.Zbiórwszystkichxspełniającychwarunek
a–δ<x<a+δdlaδ>0nazywamyδ-otoczeniempunktua.Waruneka–δ<x<
a+δmożnateżzapisaćjako|x–a|<δ(zadanie1).Jeżelizotoczeniawykluczymy
punkta,dostaniemyzbiórwszystkichpunktówxspełniającychwarunek0<|x–a|
<δ,zwanynakłutymδ-otoczeniempunktua.4Niechterazfunkcjaf(x)będziejedno-
wartościowaiokreślonadlawszystkichxznakłutegoδ-otoczeniaa.Mówimy,żef(x)
magranicęlprzyxdążącymdoa,gdydladowolnej(idowolniemałej)dodatniejliczby
smożemyznaleźćdodatniąliczbęδtaką,że
|f(x)–l|<s,
Piszemywówczas
x→a
lim
f(x)=l
lub
jeżeli0<|x–a|<δ.
f(x)→l
przyx→a.
(2.1)
Innymisłowy,biorącxdostateczniebliskie(lecznierówne)amożemyuzyskaćf(x)tak
bliskiel,jaktylkochcemy.Wrzeczywistościf(x)niemusibyćnawetwazdefiniowane.
Wartośćδzależyodwyborus,dlategoteżczęstobędziemypisaćδ(s).
Użyjemytejnotacji(zwanejdalejnotacjąs–δ)dopokazania,żelimx→1(3x+2)=5.
Ustaliwszys(dowolniemałe),musimyznaleźćδtakie,że|(3x+2)–5|<s,oile
tylko0<|x–1|<δ.Zauważmynapoczątek,że|(3x+2)–5|=3|x–1|.Jeżeli
więcprzyjmiemyδ=s/3,todlaxspełniających0<|x–1|<δmamy|(3x+2)–5|
=3|x–1|<s.
4Używasięteżterminuδ-sąsiedztwoa(przyp.tłum.).
