Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.GRANICE
11
PRZYKŁAD1
Korzystającznotacjis–δ,pokażemy,żelimx→0xsin(1/x)=0.
Rozwiązanie:Granicatajestrówna0,więcchcemypokazać,że
l
l
l
l
xsin
1
x
–0
l
l
l
l
<s,
oile0<|x–0|<δ.Wiemy,że|sin(1/x)|≤1dlawszystkichx/=0,więc
l
l
l
l
xsin
x
1
l
l
l
l
=|x|
l
l
l
l
sin
x
1
l
l
l
l
≤|x|<δ,
przyczymostatnianierównośćwynikaznierówności0<|x–0|<δ.Jeżeliwięcprzyjmiemy
δ=s,otrzymamy
l
l
l
l
xsin
1
x
l
l
l
l
<s,
oile
|x|<δ=s,
copokazuje,żelimx→0xsin(1/x)=0—aotonamchodziło(patrzrysunek1.18).Zauważcie,
żef(x)=xsin(1/x)niejestokreślonawx=0.
Rys.1.19.Wykresfunkcjif(x)=(√x+16–4)/x
dlamałychwartościx
Rys.1.18.Wykresfunkcjif(x)=xsin(1/x)dla
małychwartościx
Łatwomożnapokazać,żegranicemająnastępującewłasności:
lim
[αf(x)+βg(x)]=αlim
f(x)+βlim
g(x),
x→a
x→a
x→a
lim
f(x)g(x)=[lim
f(x)][lim
g(x)],
x→a
x→a
x→a
x→a
lim
f(x)
g(x)
=
limx→af(x)
limx→ag(x)
(oilelim
x→a
g(x)/=0),
(2.2)
x→a
lim
xr=ar(a>0),
gdzieα,βirsądowolnymiliczbamirzeczywistymi.
Notacjas–δdajenamwprawdzieścisłądefinicjęgranicy,zregułyjednakobliczamy
granicebardziejbezpośrednio.Przyjrzyjmysięlimx→0(√x+16–4)/x.Jesttogranica
postaci0/0,niemożemywięcwstawićpoprostux=0.Rysunek1.19przedstawia
wykresf(x)=(√x+16–4)/x—sugerujeon,żefunkcjatamaprzyx→0granicę
skończonąirówną1/8.
