Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
Bypokazać,żerzeczywiścietakjest,pomnożymyipodzielimyułamekprzez
√x+16+4:
lim
√x+16–4
x
·
√x+16+4
√x+16+4
=lim
x→0
x(√x+16+4)
x
=lim
x→0
√x+16+4
1
=
1
8
,
x→0
gdyżzauważamy,żex+16→16,gdyx→0.
PRZYKŁAD2
Zbadajmylim
Rys.1.20.Wykresfunkcjif(x)=[1/(x+3)–1/3]/xdla
małychwartościx
x→0
x1
1
x+3
–
1
3.
Rozwiązanie:Wykresfunkcjif(x),którejgranicęobliczamy,znajdujesięnarysunku1.20.
x→0
lim
1
x1
x+3
–
3=lim
1
x→0
3x(x+3)
–x
=lim
x→0
3(x+3)
–1
=–
1
9
,
jaksugerujewykres.
Częstochcemyobliczyćgranicęfunkcjif(x)przyx→∞.Wtymprzypadku
mówimy,żegranicatajestrównal,gdyistniejeliczbaNtaka,że|f(x)–l|<s,oile
x>N.Łatwozauważyć,żefunkcjetakiejak1/x,1/x2itp.majągranicę0przyx→∞.
Acomożemypowiedziećogranicywprzypadkufunkcjitakiej,jak
f(x)=
2x2+6x–1
3x2–2x+7
?
Możemyprzekształcićwzórnaf(x),pisząc
f(x)=
2x2
3x21
1–2/3x+7/3x2=2
+3/x–1/2x2
31
1–2/3x+7/3x2,
+3/x–1/2x2
anastępnieskorzystaćzfaktu,że1/xi1/x2dążądo0,byotrzymaćlimx→∞f(x)=2/3.
Rozwiązanieniecotrudniejszegoproblemuilustrujeponiższyprzykład.
PRZYKŁAD3
Pokażemy,żelimx→∞(x–√x2+a)=0dladowolnejstałeja.
Rozwiązanie:Mnożymyidzielimybadanąfunkcjęprzezx+√x2+a,byotrzymać
x→∞
lim
x+√x2+a
–a
=0.
