Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
następująco:
H(x)=0,x<0,
1,
x>0.
(2.7)
Wtymprzypadkulims→0H(–s)=0,alims→0H(s)=1.Jaksięzapewnedomyślili-
ście,funkcjamagranicęlewostronnąróżnąodprawostronnejwpunktach,wktórychjest
nieciągła.5
Następnyprzykładprzedstawiasytuację,wktórejpojawiająsięzarównoróżnegra-
nicelewo-iprawostronne,jakigranicenieskończone.Gdydladowolniedużejliczby
dodatniejNznajdziemyδ(dostateczniemałe)takie,żewδ-nakłutymotoczeniuamamy
f(x)>N,mówimy,żef(x)→∞przyx→a.Możemyteżmówićojednostronnej
granicynieskończonej:f(x)→∞przyx→a+,gdydladowolniedużejliczbyN
zachodzif(x+s)>N,oiletylkosjestdostateczniemałe.
Rys.1.22.FunkcjaschodkowaHeaviside’a:
H(x)=0dlax<0,H(x)=1dlax>0
PRZYKŁAD5
Rys.1.23.Wykresfunkcjif(x)=(x+2)/(x–1)
dlaxbliskich1.Asymptotęf(x)zaznaczonopio-
nowąprzerywanąlinią
Zbadajmyzachowaniefunkcjif(x)=(x+2)/(x–1)wpobliżupunktux=1.
Rozwiązanie:Jasnejest,żelimx→1f(x)nieistnieje.Spójrzmyjednaknagranicejednostronne:
x→1–
lim
x+2
x–1
=lim
s→0
1–s+2
1–s–1
=–∞,
x→1+
lim
x+2
x–1
=lim
s→0
1+s+2
1+s–1
=∞.
Rysunek1.23przedstawiawykresfunkcjif(x).
Wartowiedzieć,żewielekomercyjnychprogramówkomputerowych,takichjakMa-
thematica,Maple,MatlabiMathCad,potrafiliczyćgranice.Naprzykładwpisaniejed-
nolinijkowegopoleceniawMathematica
Limit[((3+x)^2-9)/x,x->0]
5Gdygranicelewo-iprawostronnafwasąróżne,tofunkcjafjestwanieciągła,możesięjednak
zdarzyć,żegranicejednostronnesąrównewpunkcienieciągłościf(przyp.tłum.).
