Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.7.CAŁKOWANIE
1.7.CAŁKOWANIE
41
Pojęciecałkirozwiniętopoczątkowopoto,byobliczaćpolaobszarówograniczonych
krzywymi,dziśjednakdefiniujemyjązapomocąprzejściagranicznego.Przyjrzyjmysię
sytuacjinarysunku1.49.Przedział[a,b]jestpodzielonynanpodprzedziałów(a,x1),
(x1,x2),
...,(xn–1,b),punktĘjzaś,dlaj=1,2,...,n,leżygdzieśwewnątrzj-tego
odcinka.Tworzymysumę
n
n
Sn=
Σ
f(Ęj)(xj–xj–1)=
Σ
f(Ęj)∆xj,
j=1
j=1
Rys.1.49.KonstrukcjasumyRiemanna
przyczymx0=a,xn=boraz∆xj=xj–xj–1.Geometryczniesumata,nazywana
sumąRiemanna,jestsumąpólprostokątówzaznaczonychnarysunku1.49.Jeżelibę-
dziemydzielić[a,b]nacoraztowięcejodcinkówocoraztomniejszychdługościach,
otrzymamyjakogranicęsumRiemannacałkęRiemannafunkcjif(x),oznaczanąprzez
∫
a
b
f(x)dx=lim
|L|→0
Σ
j=1
n
f(Ęj)∆xj,
(7.1)
gdzieprzez|L|oznaczyliśmydługośćnajwiększegozpodprzedziałów.Oczywiścieza-
kładamyistnienietejgranicy.Wnotacjis–δmamy
l
l∫
l
l
a
b
f(x)dx–
Σ
j=1
n
f(Ę)∆xj
l
l
l
l
<s,
oile|L|<δ.
(7.2)
Jeżelifunkcjaf(x)jestciągła(albonawetkawałkamiciągła)wprzedziale[a,b],togra-
nicataistnieje.Geometrycznie,jeżelif(x)jestdodatnianaodcinku[a,b],całkaodado
bfunkcjif(x)odpowiadapolupomiędzywykresemf(x),osiąxiprostymipionowymi
