Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
40
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
jewartośćminimalną,zatemf,(n)=0.Nakoniecwykaż,żejeżelifunkcjanieprzyjmuje
w(a,b)anidodatnich,aniujemnychwartości,tojestw[a,b]stalerówna0,zatemf,(x)=0
dlawszystkichxzprzedziału(a,b).
14.Rysunek1.48ilustrujetwierdzenieLagrange’aowartościśredniej.Abyudowodnićtotwier-
dzenie,rozważamyfunkcjęF(x)zdefiniowanąjakoróżnicamiędzyf(x)aprostąłączącą
punkty(a,f(a))i(b,f(b))(patrzrys.1.48).Wykaż,żeF(x)danajestwzorem
F(x)=f(x)–f(a)–
f(b)–f(a)
b–a
(x–a).
Rys.1.48.Rysunekpomocniczydodowodutwierdzenia
Lagrange’aowartościśredniej
Sprawdź,że,takjaksugerujetorysunek1.48,F(a)=F(b)=0orazżeF(x)spełnia
założeniatwierdzeniaRolle’a.Wiedząc,żewprzedziale(a,b)istniejeconajmniejjeden
punktctaki,żeF,(c)=0,wykaż,żef(b)–f(a)=f,(c)(b–a).Zauważ,żejeżeli
f(b)=f(a)=0,toztwierdzeniaLagrange’adostajemytwierdzenieRolle’a.
15.Standardowydowódregułydel’HospitalaopierasięnatwierdzeniuCauchy’egoowartości
średniej.Mówiono,żejeżelif(x)ig(x)sąciągłena[a,b]iróżniczkowalnew(a,b),to
wprzedziale(a,b)istniejeconajmniejjedenpunktctaki,że
f(b)–f(a)
g(b)–g(a)
=
f,(c)
g,(c)
,
przyczymzakładamy,żeg(a)/=g(b)orazżef,(x)ig,(x)niesąrównocześnieobierów-
ne0.Zauważ,żeprzyjmującg(x)=xotrzymujemytwierdzenieLagrange’a.Udowodnij
twierdzenieCauchy’egoowartościśredniej,badającfunkcję
F(x)=f(x)–f(b)–
f(b)–f(a)
g(b)–g(a)
[g(x)–g(b)].
16.Zapomocątwierdzeniawyprowadzonegowzadaniu15udowodnijregułędel’Hospitaladla
granictypu0/0.Załóż,żef(x)ig(x)sąróżniczkowalne,g(x)/=0wprzedziale(a,b)oraz
żelimx→a+f(x)=limx→a+g(x)=0.
17.Wtymzadaniunaszkicujemydowódtwierdzeniaowartościśredniejwyższegorzędu(rów-
nanie(6.3)).Niechstałakbędzierozwiązaniemrównania
f(b)=f(a)+f,(a)(b–a)+
f,,(a)
2!
(b–a)2+···+
f(n)(a)
n!
(b–a)n+k(b–a)n+1.
ZastosujtwierdzenieRolle’adofunkcji
F(x)=f(x)–f(b)+f,(x)(b–x)+
f,,(x)
2!
(b–x)2+···+
f(n)(x)
n!
(b–x)n+k(b–x)n+1.
iwykaż,żek=f(n+1)(Ę)/(n+1)!.
