Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.RÓŻNICZKOWANIE
21
14.Udowodnij,żejeżelif(x)ig(x)sąciągłewx=a,torównieżfunkcjaf(x)g(x)jestciągła
wx=a.Wskazówka:Skorzystajzrównania(2.2).
15.Udowodnij,żejeżelif(x)ig(x)sąciągłewx=aorazg(a)/=0,tof(x)/g(x)teżjest
ciągławx=a.Wskazówka:Skorzystajzrównania(2.2).
1.4.RÓŻNICZKOWANIE
Przypomnijmy,żepochodnafunkcjif(x)wpunkcieatowspółczynnikkierunkowy
prostejstycznejdowykresuf(x)wpunkciea.Pochodnąf(x)wadefiniujemyza
pomocąprzejściagranicznego:
f,(a)=lim
h→0
f(a+h)–f(a)
h
.
(4.1)
Częstoużywasięteżzapisu
dy
dx
=lim
∆x→0
∆x
∆y
=lim
∆x→0
y(a+∆x)–y(a)
∆x
.
(4.2)
Rys.1.32.Ilustracjaprzejściagranicznegodefiniującegopo-
chodnąy(x).Gdy∆x→0,[y(x+∆x)–y(x)]/∆xzbliża
siędowspółczynnikakierunkowegoprostejstycznejdowykre-
suwpunkcie(x,y)
Rysunek1.32ilustrujetoprzejściegraniczne.Wewstępnymkursierachunkuróżnicz-
kowegonauczyliściesięróżniczkowaćwielefunkcji,korzystajączwypisanychpowyżej
wzorów.Naprzykładdlay(x)=x2+2mamy
f,(x)=
dy
dx
=lim
∆x→0
(x+∆x)2+2–x2–2
∆x
=lim
∆x→0
(2x+∆x)=2x.
Trochęwiększymwyzwaniemjesty(x)=cosx:
dcosx
dx
=lim
∆x→0
cos(x+∆x)–cosx
∆x
=lim
∆x→0
cosxcos∆x–sinxsin∆x–cosx
∆x
,
awięc
dcosx
dx
=lim
∆x→0
cosxcos
∆x–1
∆x
–sinxlim
∆x→0
sin∆x
∆x
.
