Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.RÓŻNICZKOWANIE
23
jestróżniczkowalnawtymodcinku.Jeżeliodcinektenjestdomknięty(awięcrówny
[a,b]),tożądamynietylkotego,byf,(x)istniaławewszystkichpunktachwewnątrz
odcinka,alerównieżbyf(x)miałaodpowiedniepochodnejednostronnenakońcach
odcinka.
PRZYKŁAD2
Przyjmijmyf(x)=(sinhx)/xnaodcinku(0,1]orazf(x)=ax+bnaodcinku(1,2).Znaj-
dziemytakiestałeaib,byf(x)if,(x)byłyciągłewx=1.Narysujemywykresuzyskanej
funkcjif(x).
Rozwiązanie:Warunekciągłościf(x)wx=1daje
równaniesinh1=a+b,aciągłośćf,(x)wx=1—
równaniecosh1–sinh1=a.Ztegoukładurównań
obliczamyaib,otrzymująca=cosh1–sinh1=
1/e,b=2sinh1–cosh1=(e2–3)/2e.Wrezulta-
cieotrzymujemyfunkcję
f(x)=
[
'
ł
'
l
e
x
sinhx
x
+
e2–3
,
2e
,
0<x≤1,
Rys.1.33.Wykresfunkcjibadanejwprzy-
1<x<2,
kładzie2
którejwykresjestprzedstawionynarysunku1.33.
Uczyliściesięteżróżniczkowaćfunkcjezłożone.Funkcjazłożonatofunkcjazasto-
sowanadoinnejfunkcji.Mającfunkcjey=f(u)orazu=g(x),możemyzbudować
funkcjęzłożonąy=f(g(x))zmiennejx.Przypomnijmy,żepochodnaypozmiennejx
danajestprzeztzw.regułęłańcuchową:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
.
Biorącnaprzykłady(x)=sin(x2+2),mamyy=f(u)=sinu,u=x2+2.Zatem
dy
dx
=(cosu)·2x=2xcos(x2+2).
PRZYKŁAD3
Znajdziemydy/dxdlay(x)=e–(x
2+a2)1/2
,gdzieajestpewnąstałą.
Rozwiązanie:Zastosujemyregułęłańcuchową.Wtymprzypadkuy=e–u,u=(x2+a2)1/2.
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=(–e
–u)
(x2+a2)1/2=–
x
xe–(x
(x2+a2)1/2
2+a2)1/2
.
Niemusimypoprzestawaćnapierwszychpochodnych.Możemybraćpochodneko-
lejnychpochodnych,bydostaćdrugiepochodne,trzeciepochodneitakdalej.Naprzy-
