Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
1.FUNKCJEJEDNEJZMIENNEJ
kładdlafunkcjiy(x)=x2exmamy
y,(x)=
dy
dx
=ˆ
Dx(x2ex)=(2x+x2)ex,
y,,(x)=
d2y
dx2
=ˆ
D
x(x2ex)=ˆ
2
Dx[(2x+x2)ex]=(2+4x+x2)ex.
Użyliśmynotacjioperatorowej,piszącˆ
Dxzamiastd/dx.Oznaczenieˆ
D2
xoznacza,że
operacjiˆ
Dxdokonujemydwukrotnie,takżeˆ
D2
xf(x)=ˆ
Dx[ˆ
Dx(f(x))].
Częstozdarzasię,żefunkcjay(x)jestzadanawsposóbuwikłany,równaniemtypu
f(x,y)=0;rozwiązanietegorównaniawzględemymożebyćmałowygodnelubwręcz
niemożliwe.Naprzykładrównaniemzadającymy(x)możebyć
f(x,y)=
x3
1
–
y2
1
+xy–1=0.
Możemyzróżniczkowaćtorównaniepozmiennejx,korzystajączregułyłańcuchowej.
Dostaniemy
–
x4
3
+
y3
2
dy
dx
+y+x
dy
dx
=0.
dy
Ztegorównaniamożemywyznaczyć
dx
:
dy
dx
=
3–x4y
x4
xy3+2
y3
.
Najczęściejwwynikupojawiasięzarównox,jakiy,aleniejesttodlanasproblem.Aby
poznaćwartośćpochodnejwx=1,możemypodstawićx=1dorównaniaf(x,y)=0
iobliczyćzniegowartośćy(wtymprzypadkuy=1),anastępniemożemyobliczyć
wartośćdy/dxwpunkcie(1,1)—otrzymamydy/dx=2/3.
PRZYKŁAD4
Znajdziemywartośćdy/dxwpunkcie(0,1)dlay(x)=eysinxy.
Rozwiązanie:Gdyzróżniczkujemyrównanieuwikłanenay(x),otrzymamy
y,=y,eysinxy+xy,eycosxy+yeycosxy.
Stądy,wpunkcie(0,1)jestrównee.
Jakjużpisaliśmywrozdziale1,dziedzinyfunkcjicyklometrycznychdobraliśmy
wtakisposób,byichpochodnewyrażałysięprostymiwzorami.Zobaczmy,dlaczego
takjest.Zbadamyfunkcjęy=arcsinx,gdzie–π/2≤y≤–π/2(rys.1.11).Aby
znaleźćpochodnątejfunkcji,napiszmysiny=x,poczymzróżniczkujmyobiestrony
równaniapozmiennejx.Otrzymamyy,cosy=1,skąd
y,=
cosy
1
=±
1–sin2y
1
=±
√1–x2
1
.
